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Combien de chiffres de Pi les anciens Égyptiens connaissaient-ils ?

Combien de chiffres de Pi les anciens Égyptiens connaissaient-ils ?

De "Rhind Papyrus" de 1600 avant JC, nous savons que les Égyptiens avaient une estimation de pi, à savoir 3,16, ce qui signifie qu'ils ne connaissaient que 2 chiffres de pi. Selon cet article, ils connaissaient plus de chiffres, au moins 4 chiffres de pi. Vers 200 av. J.-C. Archimède a estimé pi à 22/7, soit 3 chiffres de pi. Cela indique que les Égyptiens connaissaient plus de chiffres 2000 ans avant Archimède, cependant, je ne sais pas combien de chiffres ils connaissaient réellement.

http://www.bcamt.ca/wp-content/uploads/2015/03/Yochim.pdf


Les anciens Égyptiens à l'époque du Rhind Papyrus n'avaient pas vraiment le concept de Pi. La méthode qu'ils ont décrite pour trouver l'aire d'un cercle consistait à l'inscrire dans un carré et à appliquer le rapport 64/81 à l'aire à l'intérieur du carré. Cependant, nous savons aujourd'hui que cela équivaut mathématiquement à utiliser un Pi de 256/81. C'est un cheveu plus petit que 3,1605, ce qui sur la page de chronologie de Wikipédia équivaut à l'avoir droit à une décimale.

Les Babyloniens anciens et les Indiens avaient à peu près en même temps leurs propres heuristiques qui correspondaient à un Pi de 3 + 1/8 et 25/8 respectivement, soit 3,125 (exactement). C'était un peu plus près, mais aussi précis à une seule décimale. Personne d'autre n'est connu pour avoir largement établi une estimation significativement meilleure jusqu'à 2 décimales d'Archimède près de 2000 ans plus tard.

L'article que vous avez lié fait plusieurs spéculations et en fait des extrapolations. Je ne veux pas négliger le gars : ce sont des spéculations fascinantes. Je trouve l'idée des constructeurs de pyramides roulant autour d'une roue gigogne pour tracer les quatre coins particulièrement convaincante. Mais à la base, cet article n'est qu'un lot de spéculations personnelles et de plaisir mathématique, construit autour d'un noyau de faits historiques et mathématiques. Il est bien entendu tout à fait possible d'être à l'aide de Pi sans le savoir ; c'est exactement ce que nos utilisateurs de roues gigognes auraient fait.

Un égyptologue a soutenu dès 1940 que les Égyptiens utilisaient également le 22/7, mais cet argument ne semble pas être largement accepté aujourd'hui. Je ne sais pas à quel point ses arguments correspondent à l'article que vous avez lié.


Le dernier chiffre de Pi

[Ceci est une transcription approximative de ma conférence TEDxNYED, prononcée le 6 mars 2010, à New York à la Collegiate School. TEDxNYED était une conférence d'une journée “examinant le rôle des nouveaux médias et de la technologie dans le façonnement de l'avenir de l'éducation.” Pour un méta-post sur l'expérience de donner une conférence TED(x), veuillez lire “Academic Theatre (Réflexions sur TED & TEDxNYED).” Ce que j'ai réellement dit et fait à TEDxNYED s'est écarté de cette transcription. Je publierai la vidéo dès qu'elle sera disponible.]

Je veux vous raconter l'histoire d'un domaine oublié de l'éducation et du savoir. C'est une mise en garde, une parabole de ce qui se passe lorsque le monde change, lorsque la tradition est remise en question.

Jusqu'à relativement récemment dans l'histoire de l'humanité, pi était la solution très recherchée à ce que l'on a longtemps appelé la « rectification » ou la « quadrature » ​​du cercle, des mots fantaisistes plus facilement symbolisés par le diagramme de cette diapositive. Comment pouvez-vous transformer ce cercle en carré superposé ? Un côté du carré serait un quart de pi si le diamètre du cercle est 1.

Pi était un nombre convoité pendant des milliers d'années, imprégné de propriétés magiques. Des générations d'érudits l'ont poursuivi avec acharnement, la considérant souvent comme l'alpha et l'oméga de la géométrie.

Il s'agit d'un pi-pi différent tel que nous le connaissons aujourd'hui :

Eh bien, pas tout, comme vous le savez sûrement. Ce ne sont que les 200 premiers chiffres environ. Le nombre s'étend à l'infini. J'espère que vous ne vous attendiez pas à ce que je révèle le dernier chiffre de pi. Car il n'y en a pas. Étrange, non ?

Pi n'a pas toujours été aussi étrange. Les anciens Égyptiens savaient mieux, fixant le rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle à 4 sur 3 à la puissance 4. C'est beaucoup plus précis, et donc beaucoup plus sensé.

Archimède savait mieux, se concentrant sur la valeur de pi entre quelques fractions très proches.

Si vous êtes un littéraliste biblique, pi semblerait être 3, puisque la Bible décrit clairement 30 coudées comme englobant un cercle de 10 coudées de diamètre.

Et les solutions n'ont cessé d'affluer. Des anciens mathématiciens et philosophes aux savants médiévaux, en passant par la Renaissance et les Lumières. Tout le monde semblait capable de trouver, avec suffisamment d'efforts, la valeur exacte de pi. La quadrature du cercle était un effort de génie dans une science ancienne parfaitement décrite il y a des siècles par Euclide.

Mais quelque chose a radicalement changé au XVIIIe siècle, juste après ce livre à droite de Joubert de la Rue. Quelques mathématiciens ont commencé à prendre plus au sérieux le sentiment persistant que pi n'avait pas de solution parfaite en tant que fraction magique. Il n'a peut-être pas de dernier chiffre après tout. Ce nombre critique au centre des mathématiques pourrait, en fait, être irrationnel. Un mathématicien a commencé à reconceptualiser pi.

Et le voilà : le pimpant mathématicien suisse allemand Johann Heinrich Lambert :

Il était évidemment le fils d'un tailleur et était surtout un autodidacte en mathématiques. Son brillant travail dans les années 1760 a montré que π/4 ne pouvait pas être un nombre rationnel - vous ne pouviez jamais déterminer exactement la valeur d'un côté de ce carré - et donc que pi était également irrationnel. Après Lambert, les manuels de mathématiques ont déclaré que l'affaire était résolue.

C'est vrai, problème résolu…

Sauf que la quadrature du cercle continuait. Le monde des mathématiques avait changé avec les découvertes du XVIIIe siècle, mais d'une manière ou d'une autre, le message n'a pas été transmis à beaucoup de gens. John Parker, à gauche, a proposé ma solution préférée : pi est précisément 20612/6561. Certains quadrilleurs, comme James Smith à droite, se sont moqués de la preuve de Lambert comme du travail d'un dilettante.

Les choses se sont ensuite compliquées entre les nouveaux mathématiciens et ceux qui s'accrochaient à la vision antérieure de pi. Le récit de cette guerre est aussi instructif qu'humoristique. Dans les années 1860 et 70, James Smith a affronté Augustus De Morgan, professeur de mathématiques à Londres, dans une série de courtes brochures, qui étaient l'équivalent victorien de Twitter.

Mais sans surprise, les châtiments des professeurs de mathématiques n'ont pas arrêté les quadrilleurs. Leurs solutions ont continué à venir, même face aux critiques, même après que pi se soit révélé transcendantal, ce qui signifie qu'il ne pouvait même pas être la racine d'un autre nombre ou d'une autre équation. Mon livre préféré du début du vingtième siècle avait ce sous-titre sur la couverture : « Le grand problème qui a déconcerté les plus grands philosophes et les esprits les plus brillants des temps anciens et modernes a maintenant été résolu par un humble citoyen américain de la ville de Brooklyn.”

Maintenant, il est facile de rire de ces carréurs de cercle malavisés, surtout quand ils viennent de Brooklyn. Mais si vous lisez sérieusement les quadrillages et que vous vous arrêtez pour y penser, ils ne sont pas si différents de vous ou de moi. Même à notre époque de connaissance, nous persistons tous à faire des choses que d'autres ont depuis longtemps abandonnées comme absurdes ou dépassées.

L'histoire nous dit que les gens ne sont, hélas, pas très doués pour voir le nouveau, et au contraire sont très doués pour conserver le passé à tout prix. C'est particulièrement vrai dans le domaine de l'éducation : Euclide Éléments, écrit il y a plus de 2 000 ans, était encore un manuel de mathématiques standard jusqu'au XIXe siècle, malgré les avancées mathématiques majeures.

Il vaut donc la peine de s'arrêter pour réfléchir au dernier chiffre de pi. Pourquoi tant de gens ont-ils continué à poursuivre pi comme il était traditionnellement conçu, et pourquoi ont-ils résisté aux nouvelles mathématiques ?

Réfléchissez un instant à la distinction entre l'ancien et le nouveau pi. L'ancien était parfait, simple, ordonné, divin, le nouveau, apparemment imprécis, prosaïque, chaotique, humain. Ainsi, l'histoire de pi est l'histoire, et la psychologie, de ce qui se passe lorsque le complexe et le nouveau essaient de dépasser le simple et le traditionnel.

Cela se passe tout autour de nous à l'ère numérique. Nous remplaçons ce qui a été perçu comme parfait et ordonné par ce qui semble imprécis et chaotique.

Regardez ce qui s'est passé, par exemple, au cours de la dernière décennie avec Wikipédia et l'angoisse du sort de l'Encyclopédie traditionnelle.

Ou les journaux face aux nouvelles formes de journalisme, comme les blogs. Un ancien statisticien du baseball, Nate Silver de FiveThirtyEight.com, peut-il effrontément décider d'analyser les élections et l'économie mieux que la plupart des journaux ? Oui en effet.

Maintenant, ce public, branché à droite de ces écrans, peut vouloir être aussi méchant qu'Augustus De Morgan envers ceux qui sont toujours à gauche. Nous voudrons peut-être laisser les équerres rondes modernes derrière nous, et sans aucun doute certains d'entre eux seront laissés pour compte. Mais pour la majorité qui est instable et qui est prise entre l'ancien et le nouveau, nous avons besoin d'autres méthodes pour les convaincre et changer le statu quo. L'histoire nous dit qu'il ne suffit pas de dire que les gens sont aveugles à l'avenir. Nous devons montrer précisément quelles sont les faiblesses de l'ancien…

…et nous devons montrer comment le nouveau fonctionne mieux que l'ancien.

Connaître correctement pi jusqu'au 10e chiffre est extrêmement utile pour prédire avec précision les mouvements des corps célestes, essayez d'utiliser le 3 1/8 de James Smith pour tracer l'arc d'une planète ou d'une lune. Pour certains physiques, connaître pi avec précision jusqu'au 40e chiffre est essentiel.

De plus, ce pi moderne peut être étrange, mais son étrangeté même a ouvert de nouvelles voies de recherche et de réflexion qui étaient tout aussi stimulantes et enrichissantes intellectuellement que la quadrature du cercle. La nature transcendantale de pi a conduit les mathématiciens à réfléchir à des séquences infinies de fractions et a eu un impact sur la théorie du chaos. En informatique, proposer des algorithmes pour atteindre un milliard ou un billion de chiffres de pi le plus rapidement possible a fait progresser le domaine. Et, si vous voulez toujours résoudre un problème non résolu, voyez si vous pouvez déterminer si pi est ce qu'on appelle un "nombre normal", où la distribution des chiffres 0-9 est uniforme & #8230

…ou y a-t-il plutôt une prépondérance de huit. C'est un problème difficile, lié à de vrais problèmes en mathématiques modernes. Il reste donc des problèmes à résoudre, des problèmes plus avancés. Les mathématiques ne se sont pas terminées avec la fin de l'ancien pi - elles ont simplement évolué dans de nouvelles directions plus intéressantes.

Mais pour en arriver là, les mathématiciens devaient montrer de manière compréhensible comment le nouveau pi créait un nouvel ordre.


Contenu

Les approximations les plus connues de π datant d'avant l'ère commune étaient précises à deux décimales près, ce qui a été amélioré dans les mathématiques chinoises en particulier au milieu du premier millénaire, avec une précision de sept décimales. Après cela, aucun autre progrès n'a été fait jusqu'à la fin de la période médiévale.

Certains égyptologues [4] ont affirmé que les anciens Égyptiens utilisaient une approximation de π comme 22 ⁄ 7 = 3,142857 (environ 0,04 % trop élevé) dès l'Ancien Empire. [5] Cette affirmation a suscité le scepticisme. [6] [7]

Au 5ème siècle de notre ère, π était connu à environ sept chiffres dans les mathématiques chinoises et à environ cinq chiffres dans les mathématiques indiennes. D'autres progrès n'ont pas été réalisés pendant près d'un millénaire, jusqu'au 14ème siècle, lorsque le mathématicien et astronome indien Madhava de Sangamagrama, fondateur de l'école d'astronomie et de mathématiques du Kerala, a découvert la série infinie pour π , maintenant connue sous le nom de série Madhava-Leibniz, [21] [22] et a donné deux méthodes pour calculer la valeur de . L'une de ces méthodes consiste à obtenir une série à convergence rapide en transformant la série infinie originale de . Ce faisant, il obtient la série infinie

et a utilisé les 21 premiers termes pour calculer une approximation de correcte à 11 décimales comme 3,141 592 653 59 .

L'autre méthode qu'il a utilisée consistait à ajouter un terme de reste à la série originale de . Il a utilisé le terme de reste

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), un astronome et mathématicien persan, a correctement calculé 2 π à 9 chiffres sexagésimaux en 1424. [23] Ce chiffre équivaut à 17 chiffres décimaux comme

Il a atteint ce niveau de précision en calculant le périmètre d'un polygone régulier de 3 × 2 28 côtés. [24]

Dans la seconde moitié du XVIe siècle, le mathématicien français François Viète a découvert un produit infini qui convergeait vers π connu sous le nom de formule de Viète.

Le mathématicien germano-néerlandais Ludolph van Ceulen (environ 1600) a calculé les 35 premières décimales de avec un 2 62 -gon. Il était si fier de cet accomplissement qu'il les fit inscrire sur sa pierre tombale. [25]

Dans Cyclomètre (1621), Willebrord Snellius a démontré que le périmètre du polygone inscrit converge sur la circonférence deux fois plus vite que le périmètre du polygone circonscrit correspondant. Cela a été prouvé par Christiaan Huygens en 1654. Snellius a pu obtenir sept chiffres de π à partir d'un polygone à 96 côtés. [26]

En 1789, le mathématicien slovène Jurij Vega a calculé les 140 premières décimales pour π , dont les 126 premières étaient correctes [27] et a détenu le record du monde pendant 52 ans jusqu'en 1841, lorsque William Rutherford a calculé 208 décimales, dont la première 152 avaient raison. Vega a amélioré la formule de John Machin à partir de 1706 et sa méthode est encore mentionnée aujourd'hui. [ citation requise ]

L'ampleur d'une telle précision (152 décimales) peut être mise en contexte par le fait que la circonférence du plus grand objet connu, l'univers observable, peut être calculée à partir de son diamètre (93 milliards d'années-lumière) à une précision de moins de une longueur de Planck (à 1,6162 × 10 −35 mètres , l'unité de longueur la plus courte qui a un sens réel) en utilisant π exprimé à seulement 62 décimales. [28]

Le mathématicien amateur anglais William Shanks, un homme aux moyens indépendants, a passé plus de 15 ans à calculer π à 607 décimales. Cela a été accompli en 1873, avec les 527 premières places correctes. [29] Il calculait de nouveaux chiffres toute la matinée et passait ensuite tout l'après-midi à vérifier son travail du matin. Ce fut la plus longue expansion de π jusqu'à l'avènement de l'ordinateur numérique électronique trois quarts de siècle plus tard. [ citation requise ]

En 1910, le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan trouva plusieurs séries infinies de π à convergence rapide, dont

qui calcule huit autres décimales de avec chaque terme de la série. Ses séries sont désormais la base des algorithmes les plus rapides actuellement utilisés pour calculer . Voir aussi la série Ramanujan-Sato.

Depuis le milieu du 20e siècle, tous les calculs de π ont été effectués à l'aide de calculatrices ou d'ordinateurs.

En 1944, D. F. Ferguson, à l'aide d'une calculatrice de bureau mécanique, a découvert que William Shanks avait fait une erreur à la 528e décimale et que tous les chiffres suivants étaient incorrects.

Dans les premières années de l'ordinateur, une expansion de π à 100 000 décimales [30] : 78 a été calculée par le mathématicien du Maryland Daniel Shanks (sans rapport avec William Shanks mentionné ci-dessus) et son équipe au United States Naval Research Laboratory à Washington, DC En 1961, Shanks et son équipe ont utilisé deux séries de puissances différentes pour calculer les chiffres de π . Pour l'un, on savait que toute erreur produirait une valeur légèrement élevée, et pour l'autre, on savait que toute erreur produirait une valeur légèrement basse. Et donc, tant que les deux séries produisaient les mêmes chiffres, il y avait une très grande confiance qu'elles étaient correctes. Les 100 265 premiers chiffres de ont été publiés en 1962. [30] : 80-99 à sept ans. [30] : 78

En 1989, les frères Chudnovsky ont calculé π à plus d'un milliard de décimales sur le supercalculateur IBM 3090 en utilisant la variation suivante de la série infinie de Ramanujan de π :

Depuis lors, les records ont tous été réalisés à l'aide de l'algorithme Chudnovsky. En 1999, Yasumasa Kanada et son équipe de l'Université de Tokyo ont calculé π à plus de 200 milliards de décimales sur le supercalculateur HITACHI SR8000/MPP (128 nœuds) en utilisant une autre variante de la série infinie de π de Ramanujan. En novembre 2002, Yasumasa Kanada et une équipe de 9 autres personnes ont utilisé le Hitachi SR8000, un superordinateur à 64 nœuds avec 1 téraoctet de mémoire principale, pour calculer π à environ 1,24 billion de chiffres en environ 600 heures (25 jours). En octobre 2005, ils ont affirmé l'avoir calculé à 1,24 billion de places. [31]

En août 2009, un supercalculateur japonais appelé T2K Open Supercomputer a plus que doublé le record précédent en calculant π à environ 2 600 milliards de chiffres en environ 73 heures et 36 minutes.

En décembre 2009, Fabrice Bellard a utilisé un ordinateur personnel pour calculer 2 700 milliards de chiffres décimaux de π . Les calculs ont été effectués en base 2 (binaire), puis le résultat a été converti en base 10 (décimal). Les étapes de calcul, de conversion et de vérification ont pris au total 131 jours. [32]

En août 2010, Shigeru Kondo a utilisé le y-cruncher d'Alexander Yee pour calculer 5 000 milliards de chiffres de π . C'était le record du monde pour tout type de calcul, mais de manière significative, il a été effectué sur un ordinateur domestique construit par Kondo. [33] Le calcul a été effectué entre le 4 mai et le 3 août, les vérifications primaire et secondaire prenant respectivement 64 et 66 heures. [34]

En octobre 2011, Shigeru Kondo a battu son propre record en calculant dix mille milliards (10 13 ) et cinquante chiffres en utilisant la même méthode mais avec un meilleur matériel. [35] [36]

En décembre 2013, Kondo a battu son propre record pour la deuxième fois en calculant 12 100 milliards de chiffres de π . [37]

En octobre 2014, Sandon Van Ness, sous le pseudonyme de « houkouonchi », a utilisé y-cruncher pour calculer 13 300 milliards de chiffres de π . [38]

En novembre 2016, Peter Trueb et ses sponsors ont calculé sur y-cruncher et entièrement vérifié 22 400 milliards de chiffres de π (22 459 157 718 361 ( π e × 10 12 )). [39] Le calcul a pris (avec trois interruptions) 105 jours pour terminer, [38] la limitation de l'expansion ultérieure étant principalement l'espace de stockage. [37]

En mars 2019, Emma Haruka Iwao, une employée de Google, a calculé 31,4 billions de chiffres de pi à l'aide de y-cruncher et de machines Google Cloud. Cela a pris 121 jours pour terminer. [40]

En janvier 2020, Timothy Mullican a annoncé le calcul de 50 000 milliards de chiffres sur 303 jours. [41] [42]

D'une certaine notoriété sont les textes juridiques ou historiques prétendument « définissant π » pour avoir une certaine valeur rationnelle, comme le « Indiana Pi Bill » de 1897, qui a déclaré « le rapport entre le diamètre et la circonférence est de cinq quarts à quatre » (ce qui impliquerait " ?? = 3,2") et un passage de la Bible hébraïque qui implique que ?? = 3 .

Projet de loi de l'Indiana Modifier

Le soi-disant « Indiana Pi Bill » de 1897 a souvent été caractérisé comme une tentative de « légiférer sur la valeur de Pi ». Le projet de loi traitait plutôt d'une prétendue solution au problème de la « quadrature du cercle » géométrique. [46]

Valeur biblique imputée Modifier

On prétend parfois que la Bible hébraïque implique que « π est égal à trois », basé sur un passage dans 1 Rois 7:23 et 2 Chroniques 4:2 donnant des mesures pour le bassin rond situé devant le Temple de Jérusalem comme ayant un diamètre de 10 coudées et une circonférence de 30 coudées.

La question est discutée dans le Talmud et dans la littérature rabbinique. [47] Parmi les nombreuses explications et commentaires, on peut citer :

    l'a expliqué dans son Mishnat ha-Middot (le plus ancien texte hébreu connu sur la géométrie, vers 150 EC) en disant que le diamètre a été mesuré à partir du à l'extérieur jante tandis que la circonférence a été mesurée le long de la intérieur jante. Cette interprétation implique un bord d'environ 0,225 coudée (ou, en supposant une "coudée" de 18 pouces, environ 4 pouces), ou un et un tiers de "poignées", d'épaisseur (cf. NKJV et NKJV). déclare (vers 1168 EC) que π ne peut être connu qu'approximativement, donc la valeur 3 a été donnée comme suffisamment précise à des fins religieuses. Ceci est pris par certains [48] comme la première affirmation selon laquelle est irrationnel.
  • Une autre explication rabbinique [Par qui?] [année nécessaire] invoque la guématrie : Dans NKJV, le mot traduit par « ligne de mesure » ​​apparaît dans le texte hébreu orthographié KAVEH קַוה, mais ailleurs le mot est le plus souvent orthographié KAV קַו. Le rapport des valeurs numériques de ces orthographes hébraïques est
  • 111 § 106 . Si la valeur putative de 3 est multipliée par ce rapport, on obtient
  • 333 × 106 = 3,141509433. – donnant 4 chiffres décimaux corrects, ce qui est dans
  • 1 10 000 de la vraie valeur de .

Il y a encore un débat sur ce passage dans l'érudition biblique. [ échec de la vérification ] [49] [50] De nombreuses reconstructions du bassin montrent un bord plus large (ou lèvre évasée) s'étendant vers l'extérieur du bol lui-même de plusieurs pouces pour correspondre à la description donnée dans NKJV [51] Dans les vers suivants, le bord est décrit comme "une largeur de main et le bord de celle-ci a été forgé comme le bord d'une coupe, comme la fleur d'un lys : il a reçu et tenu trois mille baths" NKJV, qui suggère une forme qui peut être englobée avec une ficelle plus courte que la longueur totale du bord, par exemple, une fleur de Lilium ou une tasse de thé.

Approximation d'un polygone à un cercle Modifier

Archimède, dans son Mesure d'un cercle, a créé le premier algorithme pour le calcul de basé sur l'idée que le périmètre de tout polygone (convexe) inscrit dans un cercle est inférieur à la circonférence du cercle, qui, à son tour, est inférieur au périmètre de tout polygone circonscrit . Il a commencé par des hexagones réguliers inscrits et circonscrits, dont les périmètres sont aisément déterminés. Il montre ensuite comment calculer les périmètres de polygones réguliers de deux fois plus de côtés qui sont inscrits et circonscrits au même cercle. Il s'agit d'une procédure récursive qui serait décrite aujourd'hui comme suit : Soit pk et Pk désignent les périmètres des polygones réguliers de k côtés qui sont inscrits et circonscrits au même cercle, respectivement. Puis,

Archimède l'utilise pour calculer successivement P12, p12, P24, p24, P48, p48, P96 et p96 . [52] En utilisant ces dernières valeurs, il obtient

On ne sait pas pourquoi Archimède s'est arrêté à un polygone à 96 côtés, il ne faut que de la patience pour étendre les calculs. Heron rapporte dans son Métrique (environ 60 EC) qu'Archimède a continué le calcul dans un livre maintenant perdu, mais lui attribue ensuite une valeur incorrecte. [53]

Archimède n'utilise aucune trigonométrie dans ce calcul et la difficulté d'application de la méthode réside dans l'obtention de bonnes approximations pour les racines carrées impliquées. La trigonométrie, sous la forme d'une table de longueurs de corde dans un cercle, a probablement été utilisée par Claude Ptolémée d'Alexandrie pour obtenir la valeur de donnée dans le Almageste (vers 150 EC). [54]

Des progrès dans l'approximation de (lorsque les méthodes sont connues) ont été réalisés en augmentant le nombre de côtés des polygones utilisés dans le calcul. Une amélioration trigonométrique de Willebrord Snell (1621) obtient de meilleures bornes à partir d'une paire de bornes obtenues à partir de la méthode des polygones. Ainsi, des résultats plus précis ont été obtenus à partir de polygones avec moins de côtés. [55] La formule de Viète, publiée par François Viète en 1593, a été dérivée par Viète en utilisant une méthode polygonale étroitement liée, mais avec des aires plutôt que des périmètres de polygones dont les nombres de côtés sont des puissances de deux. [56]

La dernière grande tentative de calcul de π par cette méthode a été réalisée par Grienberger en 1630 qui a calculé 39 décimales de π en utilisant le raffinement de Snell. [55]

Formule de type machine Modifier

Pour des calculs rapides, on peut utiliser des formules telles que celle de Machin :

avec le développement en série de Taylor de la fonction arctan(X). Cette formule est plus facilement vérifiée en utilisant les coordonnées polaires des nombres complexes, produisant :

( < x , y >= <239, 13 2 >est une solution de l'équation de Pell x 2 −2 y 2 = −1.)

Les formules de ce genre sont appelées Formules de type machine. La formule particulière de Machin a été utilisée jusque dans l'ère informatique pour calculer le nombre record de chiffres de , [30] mais plus récemment, d'autres formules similaires ont également été utilisées.

Par exemple, Shanks et son équipe ont utilisé la formule de type Machin suivante en 1961 pour calculer les 100 000 premiers chiffres de π : [30]

et ils ont utilisé une autre formule de type Machin,

Le record en décembre 2002 de Yasumasa Kanada de l'Université de Tokyo s'élevait à 1 241 100 000 000 chiffres. Les formules de type Machin suivantes ont été utilisées pour cela :

Autres formules classiques Modifier

D'autres formules qui ont été utilisées pour calculer les estimations de comprennent :

Transformation Newton/Euler Convergence : [57]

où (2k + 1) !! désigne le produit des nombres entiers impairs jusqu'à 2k + 1.

Les travaux de Ramanujan sont à la base de l'algorithme Chudnovsky, les algorithmes les plus rapides utilisés, au tournant du millénaire, pour calculer π .

Algorithmes modernes Modifier

Les développements décimaux extrêmement longs de sont généralement calculés avec des formules itératives comme l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein. Ce dernier, trouvé en 1985 par Jonathan et Peter Borwein, converge extrêmement vite :

yk + 1 = ( 1 − f ( yk ) ) / ( 1 + f ( yk ) ) , ak + 1 = ak ( 1 + yk + 1 ) 4 − 2 2 k + 3 yk + 1 ( 1 + yk + 1 + yk + 1 2 ) =(1-f(y_))/(1+f(y_))

où f ( y ) = ( 1 − y 4 ) 1 / 4 )^<1/4>> , la séquence 1 / ak > converge trimestriellement vers π , donnant environ 100 chiffres en trois étapes et plus d'un billion de chiffres après 20 étapes. Cependant, on sait que l'utilisation d'un algorithme tel que l'algorithme de Chudnovsky (qui converge linéairement) est plus rapide que ces formules itératives.

Ces approximations ont tellement de chiffres qu'elles ne sont plus d'aucune utilité pratique, sauf pour tester de nouveaux supercalculateurs. [58] Des propriétés telles que la normalité potentielle de dépendront toujours de la chaîne infinie de chiffres à la fin, et non d'un calcul fini.

Diverses approximations Modifier

Historiquement, la base 60 était utilisée pour les calculs. Dans cette base, π peut être approximé à huit chiffres significatifs (décimaux) avec le nombre 38,29,4460, lequel est

(Le prochain chiffre sexagésimal est 0, ce qui provoque la troncature ici pour donner une assez bonne approximation.)

De plus, les expressions suivantes peuvent être utilisées pour estimer :

  • précis à trois chiffres :
  • précis à trois chiffres :
  • précis à quatre chiffres :
  • précis à quatre chiffres (ou cinq chiffres significatifs) :
  • une approximation de Ramanujan, précise à 4 chiffres (ou cinq chiffres significatifs) :
  • précis à cinq chiffres :
  • précis à six chiffres [2] :
  • précis à sept chiffres :
  • précis à neuf chiffres :
  • précis à dix chiffres :
  • précis à dix chiffres (ou onze chiffres significatifs) :
  • précis à 18 chiffres :
  • précis à 30 décimales :
  • précis à 52 décimales :
  • précis à 161 décimales :
  • La représentation en fraction continue de peut être utilisée pour générer successivement les meilleures approximations rationnelles. Ces approximations sont les meilleures approximations rationnelles possibles de par rapport à la taille de leurs dénominateurs. Voici une liste des treize premiers d'entre eux : [64][65]

Additionner l'aire d'un cercle Modifier

Pi peut être obtenu à partir d'un cercle si son rayon et son aire sont connus en utilisant la relation :

Si un cercle de rayon r est dessiné avec son centre au point (0, 0), tout point dont la distance à l'origine est inférieure à r tombera à l'intérieur du cercle. Le théorème de Pythagore donne la distance à partir de n'importe quel point ( X , oui ) au centre :

Le "papier millimétré" mathématique est formé en imaginant un carré 1 × 1 centré autour de chaque cellule ( X , oui ), où X et oui sont des nombres entiers compris entre − r et r . Les carrés dont le centre se trouve à l'intérieur ou exactement sur le bord du cercle peuvent alors être comptés en testant si, pour chaque cellule ( X , oui ),

Le nombre total de cellules satisfaisant cette condition se rapproche ainsi de l'aire du cercle, qui peut ensuite être utilisé pour calculer une approximation de . Des approximations plus proches peuvent être produites en utilisant des valeurs plus grandes de r .

Mathématiquement, cette formule peut s'écrire :

En d'autres termes, commencez par choisir une valeur pour r . Considérez toutes les cellules ( X , oui ) dans laquelle les deux X et oui sont des nombres entiers compris entre − r et r . En commençant à 0, ajoutez 1 pour chaque cellule dont la distance à l'origine (0,0) est inférieure ou égale à r . Une fois terminé, divisez la somme, représentant l'aire d'un cercle de rayon r , par r 2 pour trouver l'approximation de . Par exemple, si r vaut 5, alors les cellules considérées sont :

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1)
(−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2)
(−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3)
(−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4)
(−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)

r Région approximation de
2 13 3.25
3 29 3.22222
4 49 3.0625
5 81 3.24
10 317 3.17
20 1257 3.1425
100 31417 3.1417
1000 3141549 3.141549

De même, les approximations plus complexes de données ci-dessous impliquent des calculs répétés d'une certaine sorte, donnant des approximations de plus en plus proches avec un nombre croissant de calculs.

Fractions continues Modifier

Outre sa représentation en fraction continue simple [3 7, 15, 1, 292, 1, 1, . ], qui n'affiche aucun modèle discernable, π a de nombreuses représentations de fraction continue généralisées générées par une règle simple, y compris ces deux.

(D'autres représentations sont disponibles sur le site Wolfram Functions.)

Trigonométrie Modifier

Série Grégoire-Leibniz Modifier

est la série de puissances pour arctan(x) spécialisée pour X = 1. Elle converge trop lentement pour présenter un intérêt pratique. Cependant, la série entière converge beaucoup plus rapidement pour des valeurs plus petites de x , ce qui conduit à des formules où π est la somme de petits angles avec des tangentes rationnelles, appelées formules de type Machin.

Arctangente Modifier

Sachant que 4 arctan 1 = π , la formule peut être simplifiée pour obtenir :

avec une convergence telle que chaque 10 termes supplémentaires donne au moins trois chiffres supplémentaires.

Alternativement, la série de développement simple suivante de la fonction arctangente peut être utilisée

Arcsineux Modifier

En observant un triangle équilatéral et en notant que

avec une convergence telle que chaque cinq termes supplémentaires donne au moins trois chiffres supplémentaires.

L'algorithme de Salamin-Brent Modifier

La formule de Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) pour calculer π a été découverte en 1995 par Simon Plouffe. En utilisant les mathématiques en base 16, la formule peut calculer n'importe quel chiffre particulier de - en renvoyant la valeur hexadécimale du chiffre - sans avoir à calculer les chiffres intermédiaires (extraction de chiffres). [68]

En 1996, Simon Plouffe a dérivé un algorithme pour extraire le n ième chiffre décimal de π (en utilisant les mathématiques en base 10 pour extraire un chiffre en base 10), et qui peut le faire avec une vitesse améliorée de O(m 3 (journal m) 3 fois. L'algorithme ne nécessite pratiquement aucune mémoire pour le stockage d'un tableau ou d'une matrice, de sorte que le millionième chiffre de peut être calculé à l'aide d'une calculatrice de poche. [69] Cependant, il serait assez fastidieux et peu pratique de le faire.

La vitesse de calcul de la formule de Plouffe a été améliorée pour O(m 2 ) par Fabrice Bellard, qui a dérivé une formule alternative (mais uniquement en base 2) pour calculer π . [70]

De nombreuses autres expressions pour π ont été développées et publiées par le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan. Il a travaillé avec le mathématicien Godfrey Harold Hardy en Angleterre pendant plusieurs années.

Les développements décimaux extrêmement longs de sont généralement calculés avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein, l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976, a également été utilisé.

En 1997, David H. Bailey, Peter Borwein et Simon Plouffe ont publié un article (Bailey, 1997) sur une nouvelle formule pour π en tant que série infinie :

Cette formule permet de calculer assez facilement le kème chiffre binaire ou hexadécimal de , sans avoir à calculer le précédent k − 1 chiffres. Le site Web de Bailey [71] contient la dérivation ainsi que des implémentations dans divers langages de programmation. Le projet PiHex a calculé 64 bits autour du quadrillionième bit de (qui s'avère être 0).

D'autres formules qui ont été utilisées pour calculer les estimations de comprennent :

Cela converge extraordinairement rapidement. Les travaux de Ramanujan sont à la base des algorithmes les plus rapides utilisés, dès le tournant du millénaire, pour calculer π .

En 1988, David Chudnovsky et Gregory Chudnovsky ont trouvé une série à convergence encore plus rapide (l'algorithme Chudnovsky) :

La vitesse de divers algorithmes pour calculer pi à n chiffres corrects est indiquée ci-dessous par ordre décroissant de complexité asymptotique. M(n) est la complexité de l'algorithme de multiplication utilisé.

Algorithme Année Complexité temporelle ou Vitesse
Algorithme de Chudnovsky 1988 O ( n log ⁡ ( n ) 3 ) )> [38]
Algorithme de Gauss-Legendre 1975 O ( M ( n ) log ⁡ ( n ) ) [73]
Division binaire de la série arctan dans la formule de Machin O ( M ( n ) ( log ⁡ n ) 2 ) )> [73]
Formule de Leibniz pour 1300s Convergence sublinéaire. Cinq milliards de termes pour 10 décimales correctes

Pi Hex Modifier

Pi Hex était un projet de calcul de trois chiffres binaires spécifiques de π à l'aide d'un réseau distribué de plusieurs centaines d'ordinateurs. En 2000, après deux ans, le projet a fini de calculer le cinq trillionième (5*10 12 ), le quarante trillionième et le quadrillionième (10 15 ) bits. Tous les trois se sont avérés être 0.

Au fil des ans, plusieurs programmes ont été écrits pour calculer π à plusieurs chiffres sur des ordinateurs personnels.

Usage général Modifier

La plupart des systèmes de calcul formel peuvent calculer et d'autres constantes mathématiques courantes avec la précision souhaitée.

Des fonctions de calcul de π sont également incluses dans de nombreuses bibliothèques générales pour l'arithmétique de précision arbitraire, par exemple Class Library for Numbers, MPFR et SymPy.

Usage spécial Modifier

Les programmes conçus pour calculer peuvent avoir de meilleures performances que les logiciels mathématiques à usage général. Ils implémentent généralement des points de contrôle et un échange de disque efficace pour faciliter des calculs extrêmement longs et gourmands en mémoire.


Combien de chiffres de Pi vous devez avoir mémorisés pour être spécial

Aujourd'hui, c'est le jour de Pi et le jour de chaque année, le 14 mars, qui suit les trois premiers chiffres de pi (3,14). Et cette année&rsquos Pi Day est un jour spécial : puisque &mdash aux États-Unis &mdash la date est représentée par le 14/03/15, nous avons les cinq premiers chiffres de pi sur le calendrier.

C'est une nouvelle pour certaines personnes. En ce qui concerne le nombre de chiffres de pi que les gens connaissent par cœur, la majorité ne connaît que 3,14. Ce qui est bien ! À moins que vous ne construisiez un pont, c'est ce que vous aurez vraiment besoin de savoir.

J'ai demandé à SurveyMonkey Audience de réaliser un sondage pour voir jusqu'où les gens pouvaient aller en récitant les chiffres infinis de pi. Sur 941 répondants, 836 ont tenté de nommer les chiffres après la virgule. Voici jusqu'où ils sont allés :

NIVEAU DE PRÉCISION POURCENTAGE DE RÉPONDANTS
3.1 73
3.14 64
3.141 33
3.1415 26
3.14159 19
3.141592 12
3.1415926 10
3.14159265 7
3.141592653 5

Si vous pouvez accéder aux 3 premiers après la virgule décimale, vous vous retrouvez dans les 5 % supérieurs des mémoriseurs pi. J'ai demandé aux gens qui sont allés jusque-là de continuer, et la plupart d'entre eux ont abandonné peu de temps après.

La plus forte baisse est survenue après &ldquo3.14&rdquo, car les répondants qui sont allés aussi loin n'ont atteint &ldquo3.141» qu'environ 52 % du temps.

Les employés de la NASA peuvent probablement s'en tirer en ne connaissant que les six premiers chiffres après la virgule. De plus, nous avons des calculatrices lorsque nous avons besoin de quelques chiffres supplémentaires, des TI-89 lorsque ces calculatrices sont insuffisantes et Wolfram Alpha lorsque nous réduisons ces calculatrices à un désordre fumant et fondu.

Peut-être qu'après l'apocalypse très attendue, les gars du Large Hadron Collider seront heureux d'avoir ce mec qui a mémorisé des dizaines de milliers de chiffres pi, mais pour l'instant, il a juste un passe-temps étrange. Connaître pi est strictement un acte performatif, comme les personnes qui donnent volontiers leur score SAT ou leur pourcentage d'achèvement des études secondaires.


Combien de chiffres de Pi les anciens Égyptiens connaissaient-ils ? - Histoire

Pi est un nom donné au rapport de la circonférence d'un cercle sur le diamètre. Cela signifie que pour n'importe quel cercle, vous pouvez diviser la circonférence (la distance autour du cercle) par le diamètre et obtenir toujours exactement le même nombre. Peu importe la taille du cercle, Pi reste le même. Pi s'écrit souvent en utilisant le symbole et se prononce "pie", tout comme le dessert.

Une brève histoire de Pi
Les civilisations anciennes savaient qu'il y avait un rapport circonférence/diamètre fixe qui était approximativement égal à trois. Les Grecs ont affiné le processus et Archimède est crédité du premier calcul théorique de Pi.

En 1761 Lambert a prouvé que Pi était irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit comme un rapport de nombres entiers.

En 1882, Lindeman a prouvé que Pi était transcendant, c'est-à-dire que Pi n'est la racine d'aucune équation algébrique à coefficients rationnels. Cette découverte a prouvé qu'on ne peut pas "carréer un cercle", ce qui était un problème qui occupait de nombreux mathématiciens jusqu'alors. (Plus d'informations sur la quadrature du cercle.)

Combien y a-t-il de chiffres ? Est-ce que ça s'arrête jamais ?
Parce que Pi est connu pour être un nombre irrationnel, cela signifie que les chiffres ne se terminent jamais ou ne se répètent jamais d'une manière connue.Mais calculer les chiffres de Pi s'est avéré être une fascination pour les mathématiciens à travers l'histoire. Certains ont passé leur vie à calculer les chiffres de Pi, mais jusqu'à ce que les ordinateurs, moins de 1 000 chiffres avaient été calculés. En 1949, un ordinateur a calculé 2 000 chiffres et la course était lancée. Des millions de chiffres ont été calculés, avec le record détenu (en septembre 1999) par un superordinateur de l'Université de Tokyo qui a calculé 206 158 430 000 chiffres. (1 000 premiers chiffres)

Vous trouverez plus d'informations sur l'histoire de Pi dans les archives Mac Tutor Math History.

Approximation de Pi
Archimède a calculé que Pi était entre 3 10/71 et 3 1/7 (écrit aussi 223/71

Sites Web Pi
Pi continue de fasciner de nombreuses personnes à travers le monde. Si vous souhaitez en savoir plus, il existe de nombreux sites Web consacrés au nombre Pi. Il existe des sites qui proposent des milliers, des millions ou des milliards de chiffres, des clubs pi, de la musique pi, des personnes qui calculent des chiffres, des personnes qui mémorisent des chiffres, des expériences Pi et plus encore. Consultez cette page Yahoo pour une liste complète.

Une expérience Pi cool
L'un des moyens les plus intéressants d'en savoir plus sur Pi est de faire vous-même des expériences pi. Voici un célèbre appelé Aiguille de Buffon.

Dans l'expérience de l'aiguille de Buffon, vous pouvez laisser tomber une aiguille sur une feuille de papier lignée. Si vous gardez une trace du nombre de fois où l'aiguille atterrit sur une ligne, cela s'avère directement lié à la valeur de Pi.

Applet de simulation d'aiguille de Buffon (Michael J. Hurben)
Aiguille de Buffon (George Reese, Bureau de l'enseignement des mathématiques, des sciences et de la technologie, Université de l'Illinois Champaign-Urbana)

100 premières décimales

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 .

1000 premières décimales
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989


Pi, quelqu'un ? Le secret pour mémoriser des dizaines de milliers de chiffres

Chaque année, les passionnés de mathématiques célèbrent le Pi Day le 14 mars, car la date correspond aux trois premiers chiffres (3,14) de pi, ou , la constante mathématique qui représente le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Cette année, l'événement est encore plus particulier puisque, pour la première fois depuis un siècle, la date représentera les cinq premiers chiffres de pi : 3.14.15.

Pi est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'il ne peut pas être exprimé sous forme de fraction, et sa représentation décimale ne se termine jamais et ne se répète jamais.

Il existe de nombreuses façons de célébrer le Pi Day, notamment en consommant de grandes quantités de son délicieux homophone, la tarte. Mais une poignée de personnes poussent leur admiration plus loin, en récitant des dizaines de milliers de chiffres de pi de mémoire. [Les 9 nombres les plus massifs qui existent]

En 1981, un Indien nommé Rajan Mahadevan a récité avec précision 31 811 chiffres de pi de mémoire. En 1989, le Japonais Hideaki Tomoyori a récité 40 000 chiffres. Le record du monde Guinness actuel est détenu par Lu Chao de Chine, qui, en 2005, a récité 67 890 chiffres de pi.

Malgré leurs réalisations impressionnantes, la plupart de ces personnes ne sont pas nées avec des souvenirs extraordinaires, suggèrent des études. Ils ont simplement appris des techniques pour associer des chaînes de chiffres à des lieux ou des scènes imaginaires dans leur esprit.

Pour bon nombre de ces champions de la mémoire, la capacité « de se souvenir d'un grand nombre de chiffres aléatoires, comme pi, est quelque chose qu'ils s'entraînent à faire sur une longue période de temps », a déclaré Eric Legge, psychologue cognitif à l'Université de l'Alberta à Edmonton, Canada.

Entrez dans le palais de l'esprit

Les mémorisateurs experts en pi utilisent souvent une stratégie connue sous le nom de méthode des loci, également appelée technique du « palais de la mémoire » ou du « palais de l'esprit » (comme celle utilisée par le personnage de Benedict Cumberbatch dans la série télévisée de la BBC « Sherlock »). Appliquée depuis l'époque des anciens Grecs et Romains, la méthode consiste à utiliser la visualisation spatiale pour mémoriser des informations, telles que des chiffres, des visages ou des listes de mots.

"C'est l'une des stratégies de mémoire les plus efficaces, mais complexes, pour se souvenir de grands ensembles d'informations", a déclaré Legge à Live Science.

Voici comment cela fonctionne : vous vous placez dans un environnement familier, comme une maison, et parcourez cet environnement en plaçant des morceaux des informations dont vous souhaitez vous souvenir à divers endroits. Par exemple, vous pourriez mettre le numéro « 717 » dans le coin près de la porte d'entrée, le numéro « 919 » dans l'évier de la cuisine, etc., a déclaré Legge.

"Pour rappeler [les chiffres] dans l'ordre, il vous suffit de suivre le même chemin que lorsque vous stockiez ces informations", a déclaré Legge. "En faisant cela, les gens peuvent se souvenir d'énormes ensembles d'informations."

Nourrir, pas la nature

Anders Ericsson, professeur de psychologie à l'Université d'État de Floride à Tallahassee, a étudié Lu et d'autres qui ont établi des records pour la récitation des chiffres de pi, pour découvrir comment ils ont réalisé ces étonnants exploits de mémorisation.

Comme la plupart des autres récitateurs de pi, Lu a utilisé des techniques de visualisation pour l'aider à se souvenir. Il a attribué des images telles qu'une chaise, un roi ou un cheval à des combinaisons de nombres à deux chiffres allant de "00" à "99". Ensuite, il a inventé une histoire en utilisant ces images, qui était liée à un emplacement physique, a déclaré Ericsson.

Il y a quelques années, Ericsson et ses collègues ont donné à Lu, ainsi qu'à un groupe de personnes du même âge et du même niveau d'éducation, un test qui mesurait leur « digit span » &mdash en d'autres termes, à quel point ils pouvaient se souvenir d'une séquence aléatoire chiffres présentés à raison d'un chiffre par seconde.

L'envergure des chiffres de Lu était de 8,83, contre une moyenne de 9,27 pour le reste du groupe, selon l'étude publiée en 2009 dans le Journal of Experimental Psychology. Les résultats suggèrent que, contrairement à d'autres experts en mémoire qui ont été étudiés, l'habileté de Lu à mémoriser de longues listes de chiffres n'était pas le résultat d'une habileté innée à coder des informations. C'était plutôt le résultat d'années de pratique, a déclaré Ericsson.

Cela signifie-t-il que n'importe qui peut apprendre à se souvenir de dizaines de milliers de chiffres de pi ?

"Il y a eu de nombreuses démonstrations montrant que les gens ordinaires, ayant reçu une formation, peuvent considérablement améliorer leurs performances" en mémorisant de longues listes, a déclaré Ericsson. "Mais je dois être honnête", a-t-il déclaré. "Lorsque vous vous engagez à mémoriser pi… nous parlons d'années avant que vous ne puissiez réellement atteindre des performances record."


Le système numérique et les opérations arithmétiques

Les Égyptiens, comme les Romains après eux, exprimaient les nombres selon un schéma décimal, en utilisant des symboles séparés pour 1, 10, 100, 1 000, et ainsi de suite, chaque symbole apparaissait dans l'expression pour un nombre autant de fois que la valeur qu'il représentait se produisait. dans le nombre lui-même. Par exemple, signifiait 24. Cette notation plutôt lourde était utilisée dans l'écriture hiéroglyphique trouvée dans les inscriptions en pierre et d'autres textes formels, mais dans les documents papyrus, les scribes utilisaient une écriture abrégée plus pratique, appelée écriture hiératique, où, par exemple, 24 était écrit / >.

Dans un tel système, l'addition et la soustraction reviennent à compter le nombre de symboles de chaque type qu'il y a dans les expressions numériques, puis à réécrire avec le nombre de symboles résultant. Les textes qui ont survécu ne révèlent pas quelles procédures spéciales, le cas échéant, les scribes ont utilisées pour les aider. Mais pour la multiplication, ils ont introduit une méthode de doublement successif. Par exemple, pour multiplier 28 par 11, on construit un tableau de multiples de 28 comme suit :

Les différentes entrées de la première colonne qui totalisent 11 (c'est-à-dire 8, 2 et 1) sont cochées. Le produit est alors trouvé en additionnant les multiples correspondant à ces entrées donc, 224 + 56 + 28 = 308, le produit recherché.

Pour diviser 308 par 28, les Egyptiens ont appliqué la même procédure en sens inverse. En utilisant la même table que dans le problème de multiplication, on peut voir que 8 produit le plus grand multiple de 28 qui est inférieur à 308 (car l'entrée à 16 est déjà 448), et 8 est coché. Le processus est ensuite répété, cette fois pour le reste (84) obtenu en soustrayant l'entrée en 8 (224) du nombre d'origine (308). Celle-ci est cependant déjà plus petite que l'entrée en 4, qui par conséquent est ignorée, mais elle est supérieure à l'entrée en 2 (56), qui est alors cochée. Le processus est répété à nouveau pour le reste obtenu en soustrayant 56 du reste précédent de 84, ou 28, qui se trouve également être exactement égal à l'entrée à 1 et qui est ensuite coché. Les entrées qui ont été cochées sont additionnées, donnant le quotient : 8 + 2 + 1 = 11. (Dans la plupart des cas, bien sûr, il y a un reste qui est inférieur au diviseur.)

Pour des nombres plus importants, cette procédure peut être améliorée en considérant des multiples d'un des facteurs par 10, 20,… ou même par des ordres de grandeur plus élevés (100, 1 000,…), si nécessaire (dans la notation décimale égyptienne, ces multiples sont faciles Faire du fitness). Ainsi, on peut trouver le produit de 28 par 27 en énonçant les multiples de 28 par 1, 2, 4, 8, 10 et 20. Puisque les entrées 1, 2, 4 et 20 totalisent 27, on a il suffit d'additionner les multiples correspondants pour trouver la réponse.

Les calculs impliquant des fractions sont effectués sous la restriction des parties unitaires (c'est-à-dire les fractions qui, dans la notation moderne, sont écrites avec 1 comme numérateur). Pour exprimer le résultat de la division de 4 par 7, par exemple, qui en notation moderne est simplement 4/7, le scribe a écrit 1/2 + 1/14. La procédure pour trouver des quotients sous cette forme étend simplement la méthode habituelle pour la division des nombres entiers, où l'on inspecte maintenant les entrées pour 2/3, 1/3, 1/6, etc., et 1/2, 1/4, 1/8, etc., jusqu'à ce que les multiples correspondants de la somme du diviseur au dividende. (Les scribes comprenaient 2/3, peut-on observer, même si ce n'est pas une fraction unitaire.) En pratique, la procédure peut parfois devenir assez compliquée (par exemple, la valeur pour 2/29 est donnée dans le papyrus de Rhind comme 1/ 24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) et peut être calculé de différentes manières (par exemple, le même 2/29 peut être trouvé comme 1/15 + 1/435 ou comme 1/16 + 1/ 232 + 1/464, etc.). Une partie considérable des textes de papyrus est consacrée à des tableaux pour faciliter la recherche de telles valeurs unit-fraction.

Ces opérations élémentaires suffisent pour résoudre les problèmes arithmétiques des papyrus. Par exemple, « partager 6 pains entre 10 hommes » (papyrus Rhind, problème 3), on se contente de diviser pour obtenir la réponse 1/2 + 1/10. Dans un groupe de problèmes, une astuce intéressante est utilisée : « Une quantité (unehune) et son 7e ensemble font 19—qu'est-ce que c'est ? » (Papyrus Rhind, problème 24). Ici on suppose d'abord que la quantité est 7 : puisque 1 1 /7 de cela devient 8, pas 19, on prend 19/8 (c'est-à-dire 2 + 1/4 + 1/8), et son multiple par 7 (16 + 1/2 + 1/8) devient la réponse requise. Ce type de procédure (parfois appelée la méthode de la « fausse position » ou de la « fausse hypothèse ») est familière dans de nombreuses autres traditions arithmétiques (par exemple, les traditions chinoises, hindoues, musulmanes et européennes de la Renaissance), bien qu'elles semblent n'avoir aucun lien direct. à l'égyptien.


10 000 chiffres de Pi formatés pour les humains

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
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6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046
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La joie de l'arithmétique à virgule flottante sexagésimale

Le mois dernier, j'ai écrit sur le battage médiatique entourant un nouvel article sur la tablette très étudiée Plimpton 322. Cette ancienne tablette mésopotamienne, qui a fait l'objet de nombreux articles universitaires au cours des dernières décennies, contient des colonnes de chiffres liés à triangles rectangles, mais nous ne savons pas exactement comment ni pourquoi le tableau a été créé.

Dans mon article, j'ai critiqué la vidéo publicitaire que les chercheurs ont réalisée pour accompagner la sortie de l'article. Plus précisément, j'ai été irrité par les remarques étranges que l'un des chercheurs a faites sur l'utilité relative de la base 60, ou sexagésimal, par rapport au système de base 10, ou décimal, que nous utilisons aujourd'hui.

Pour être clair, la base 60 a un gros avantage sur la base 10 : 60 est divisible par 3, et 10 n'est pas&rsquot. Il est facile d'écrire les fractions 1/2, 1/4 et 1/5 en base 10 : elles sont respectivement 0,5, 0,25 et 0,2. Mais 1/3 vaut 0,3333&hellip. Sa représentation décimale ne se termine pas. C'est vraiment trop un problème pour nous parce que nous sommes à l'aise pour représenter les nombres sous forme de décimales ou de fractions. Mais le système numérique babylonien ne représentait pas les fractions en termes de numérateurs et de dénominateurs comme nous le faisons. Ils n'utilisaient que la forme sexagésimale, ce qui reviendrait comme nous à n'utiliser que des nombres décimaux au lieu d'écrire des nombres sous forme de fractions. En sexagésimal, 1/3 a une représentation facile comme. C'est 20/60, qui pourrait s'écrire .20 dans un système sexagésimal. (C'était précisément écrit de cette façon par les anciens Mésopotamiens parce qu'ils n'avaient pas d'équivalent à une virgule décimale. Nous y reviendrons plus tard.)

Plus il y a de facteurs premiers, mieux c'est lorsqu'il s'agit de représenter facilement des nombres à l'aide d'un système de numération positionnelle comme la base 10 ou 60, mais ces facteurs supplémentaires ont un coût. En base 10, nous n'avons qu'à apprendre 10 chiffres. La base 30, la plus petite base divisible par 2, 3 et 5 (60 a un facteur supplémentaire de 2 qui ne fait pas une énorme différence dans la facilité de représentation des nombres), nécessite 30 chiffres distincts. Si nous voulions écrire des fractions comme 1/7 en utilisant une représentation analogue, nous devons sauter jusqu'à la base 210. Travailler avec autant de chiffres devient très rapidement fastidieux.

Les fractions dont les dénominateurs n'ont que des facteurs de 2 et 5 ont des représentations décimales finies. La base 12 serait également assez pratique. Il a des facteurs premiers de 2 et 3, et il est assez facile de compter jusqu'à 12 sur vos doigts en utilisant les jointures d'une main au lieu des doigts individuels. (Un de mes étudiants en histoire des mathématiques a écrit un article plaidant en faveur d'un système de nombres en base 12, ou douzaine.) Avec la base 12, nous perdons la capacité de représenter facilement 1/5 ou 1/10. Mais 30 ou 60, les plus petites bases qui autorisent les facteurs premiers 2, 3 et 5, sont terriblement grandes. C'est un compromis. Personnellement, l'idée de devoir garder une trace de 30 ou 60 chiffres différents, même s'ils sont assez explicites, comme l'étaient les chiffres babyloniens, est trop pour moi, donc je m'en tiens à 10 ou 12. Mais allez-y et balancez le sexagésimal si c'est votre truc.

La base 60 a certainement ce premier avantage sur la base 10, mais j'ai été ennuyé par la façon dont Mansfield a exagéré cet avantage dans la vidéo promotionnelle qu'ils ont réalisée pour accompagner le journal. Voici ce que j'ai écrit à ce sujet le mois dernier :

L'utilité de différents types de tables de déclenchement est peut-être une question d'opinion, mais la vidéo de l'UNSW contient également des faussetés flagrantes sur la précision en base 60 par rapport au système en base 10 que nous utilisons maintenant. Autour de la marque 1:10, dit Mansfield, &ldquoNous comptons en base 10, qui n'a que deux fractions exactes : 1/2, qui est de 0,5, et 1/5.» Ma première objection est que toute fraction est exacte. Le nombre 1/3 est précisément 1/3. Mansfield précise que ce qu'il veut dire par 1/3 n'étant pas une fraction exacte, c'est qu'il a un infini (0,333&hellip) plutôt qu'une décimale terminale. Mais qu'en est-il du 1/4 ? C'est 0,25, qui se termine, et pourtant Mansfield ne le considère pas comme une fraction exacte. Et qu'en est-il du 1/10 ou du 2/5 ? Ceux-ci peuvent être écrits 0,1 et 0,4, ce qui semble assez exact.

Indéfendable, lorsqu'il loue les nombreuses "fractions exactes" disponibles en base 60, il n'applique pas les mêmes normes. En base 60, 1/8 s'écrirait 7/60+30/3600 ce qui revient à écrire 0,25, ou 2/10+5/100, pour 1/4 en base 10. Pourquoi 1/8 est-il exact en base 60 mais 1/4 pas exact en base 10 ?

Je ne vais pas ressasser mon post ici, mais je tiens à clarifier un point. Quelques personnes qui ont critiqué cette critique de la vidéo pensent que les nombres que j'ai mentionnés ne sont que des nombres aléatoires flottant dans l'éther de la vidéo. Ils n'en ont pas ! Parce que Mansfield n'a pas expliqué ce que signifiaient les nombres, ils peuvent sembler aléatoires, mais en fait, l'expression 1/8 = 7,30 signifie quelque chose. J'ai demandé à mes élèves de travailler un peu avec l'arithmétique en base 60 lorsque j'enseignais l'histoire des mathématiques, alors j'ai immédiatement reconnu les paires qu'il affichait comme &ldquoreciprocal pairs&rdquo en base 60. L'équivalent cunéiforme de l'équation 1/8=7,30 aurait été significatif pour un personne instruite en mathématiques en 1800 avant notre ère.

Une capture d'écran de la vidéo promotionnelle réalisée par les chercheurs pour accompagner leur article sur la tablette babylonienne Plimpton 322. Crédit : UNSW

Le système de nombres babylonien était un système de position, ou de valeur de position, comme le nôtre. Dans notre système décimal, le chiffre 1 peut signifier une unité s'il est seul, dix s'il se situe dans les dizaines dans un nombre comme 10 ou 12, cent s'il se trouve à la place suivante à gauche, et ainsi de suite. Dans un système positionnel de base 60, il y aurait une place des unités, une place des années soixante, une place des trente-six cents, et ainsi de suite, plutôt que les unités, dizaines et centaines auxquelles nous étions habitués. Mais à part cela, le système fonctionne de la même manière que le nôtre. Cela contraste avec, par exemple, les chiffres romains, où I signifie un, X signifie dix, C signifie cent, et ainsi de suite. Ainsi, le système babylonien est un peu plus facile à utiliser pour nous que le système romain.

Mais il y a une torsion : le système babylonien n'utilisait pas de zéro, du moins au début. (J'ai écrit à propos de cette bizarrerie lorsque j'ai commencé à enseigner l'histoire des mathématiques en 2014.) Nous utilisons zéro comme espace réservé, soit au milieu d'un nombre, comme dans le nombre 101, soit au début (0,001) ou à la fin (1 000) pour indiquer l'ampleur du nombre dont nous parlons. Les anciens Mésopotamiens ne l'ont pas fait, bien qu'ils aient laissé un peu d'espace pour les chiffres vides au milieu d'un nombre où nous écririons le zéro en 101. Ils ont supposé que le contexte rendrait l'ordre de grandeur clair. Dans notre système de numération, ce serait comme écrire 1 et supposer qu'il serait clair si cela signifiait un, dix, un dixième, cent ou un autre nombre que nous écririons en utilisant uniquement les chiffres un et zéro.

Cela semble déroutant et a conduit à quelques erreurs, mais nous commettons également des erreurs stupides en fonction de la façon dont nous écrivons les nombres : les chiffres 6 et 0, ou 1 et 7, se ressemblent dans l'écriture de certaines personnes, par exemple. On omet même parfois un ordre de grandeur s'il est compris dans son contexte. Les gens parlent de manger quelque chose avec 100 calories, ce qui signifie en réalité 100 kilocalories. Les annonces immobilières disent parfois des choses comme &ldquoHomes from the $100's&rdquo (dans la banlieue du Texas quand j'étais enfant) ou &ldquoUnits from the $500's&rdquo (dans les grandes villes aujourd'hui). Si vous vous présentez avec quelques centaines de dollars en pensant que vous reviendrez propriétaire, vous serez vraiment désolé d'avoir compris le « mille et une » tacite à la fin de ces chiffres.

Aujourd'hui, les ordinateurs représentent et manipulent généralement des nombres en utilisant l'arithmétique à virgule flottante, ce qui pourrait vous rappeler la notation scientifique. Un ensemble de chiffres indique les chiffres du nombre et l'autre ensemble indique son ordre de grandeur. De cette façon, il faut essentiellement la même quantité de mémoire pour stocker le nombre 12 que le nombre 12 000 000.Bien que le système babylonien n'ait pas indiqué les ordres de grandeur aussi clairement que les ordinateurs modernes, les similitudes sont suffisantes pour que certaines personnes s'y réfèrent comme à virgule flottante sexagésimale.

Le fait que je puisse indiquer un, soixante, trente-six cents ou d'autres puissances de 60 dans le système de numération babylonien a conduit à une façon différente de penser à la division. S'ils devaient diviser par un nombre, ils multiplieraient par un &ldquoreciprocal&rdquo de ce nombre. Deux nombres seraient réciproques si leur produit était le chiffre 1. Mais cela pourrait signifier tout ce qui est écrit comme l'équivalent du chiffre 1 en base 60 : 1, 60, 3600, 1/60, et ainsi de suite. Donc 4 et 15 forment une paire réciproque en base 60 car 4×15 est 60. De même que 3 et 20, 5 et 12, et bien d'autres combinaisons. (Ces paires peuvent sembler familières : il y a 15 minutes dans un quart d'heure, 20 dans un tiers, et ainsi de suite. J'aime penser à cela comme du sexagésimisme vestigial.) Les tableaux réciproques comprenaient également des paires réciproques plus compliquées : 8 et 7,30 9 et 6,40 1,21 et 44,26,40. (Aujourd'hui, nous mettons généralement des virgules entre les chiffres sexagésimaux lorsque nous les écrivons avec nos décimales hindoues-arabes pour éviter toute ambiguïté. 7,30 signifie qu'un endroit contient un 7 et un autre un 30. L'ordre de grandeur dépend toujours du contexte. )

Au début, des déclarations comme 1/4=15 et 1/8=7,30 ne semblaient pas naturelles pour moi et mes étudiants, mais je pense que les traduire en base 10 peut aider un peu. Quand j'étais enfant, j'ai découvert un fait étonnant : au lieu de multiplier par 5, ce qui était difficile pour moi, je pouvais diviser par 2, ce qui était facile pour moi, et multiplier par 10. J'y ai pensé davantage comme &ldqudiviser par 2 puis donner au nombre la bonne taille.&rdquo Plus tard, j'ai découvert que l'on pouvait inverser le processus : vous pouvez diviser par 5 en multipliant par 2 et en donnant au nombre la bonne taille (en divisant par 10 , ce qui peut ressembler à supprimer un zéro ou déplacer un point décimal vers la gauche) ! J'ai aussi découvert que je pouvais multiplier par 50 en utilisant la même astuce et en ajoutant un autre 0.

J'étais assez content de ces petits trucs mais je n'en ai jamais parlé à mes professeurs car j'étais certain de tricher. Si attrapé, il faudrait que j'apprenne à multiplier ou à diviser par 5. L'horreur ! Je sais maintenant pourquoi mes tours ont fonctionné et qu'ils ne trichaient pas. J'utilisais le fait que 5 et 2 sont des inverses décimaux à virgule flottante. En fait, il est bon de pouvoir décomposer les nombres de manière pratique pour faciliter l'arithmétique. Lorsque j'ai rencontré pour la première fois le système babylonien de base 60, j'ai reconnu l'astuce 5-2 comme une version en base 10 de paires sexagésimales & ldquoréciproques. Alors que les mathématiques mésopotamiennes ne vont probablement pas changer notre façon de faire de la trigonométrie, de jouer avec les nombres et d'apprendre sur différentes façons de les représenter peuvent aider les étudiants (et les non-étudiants) à développer leur sens des nombres et à s'amuser.

Pour en savoir plus sur le système de numération babylonien :
Une introduction aux chiffres babyloniens du site Web d'histoire des mathématiques MacTutor
La page Mesopotamian Mathematics de Duncan J. Melville, voir en particulier "Special Topics", qui comprend des articles sur les paires réciproques babyloniennes

Les opinions exprimées sont celles des auteurs et ne sont pas nécessairement celles de Scientific American.


Enterrement de Pharaon

La momification et l'enterrement tenaient une place importante dans la vie égyptienne. Les Égyptiens croyaient la préservation du corps garanti la survie de l'âme dans l'au-delà. Le pharaon a commencé à construire son tombeau peu de temps après avoir accédé au trône. Les emplacements et les types de tombes construites ont changé au fil du temps et lorsque la capitale du pays a déménagé. Les tombes contenaient des décorations du voyage du pharaon dans l'au-delà et des textes du Livre des Morts.

&copier Mary Harrsch - Sarcophage décoré

Les premières tombes pharaoniques sont les tombeaux mastaba fait de brique crue. Les érudits ont trouvé ces tombes dans certains des plus anciens cimetières près des anciennes capitales (voir la liste des capitales ci-dessous). Les mastabas, comme tous les anciens cimetières égyptiens, se trouvaient sur la rive ouest du Nil, qui était le royaume des morts.

Pyramides étaient des élaborations de la conception du mastaba en pierre. Le premier était le Pyramide à degrés de Djoser qu'Imhotep a conçu. Les architectes ont planifié les pyramides et inclus un temple funéraire et d'autres tombes royales dans le complexe. La Grande Pyramide de Khéops à Gizeh est le plus bel exemple de ce type de tombe.

© DragonWoman - Complexe de pyramides à Gizeh

Plus tard, les pharaons ont vu que les pilleurs de tombes ont fait irruption dans les tombes précédentes, alors ils ont fait le secret tombeaux taillés dans la roche. La région où ils ont construit ces tombes s'appelle maintenant la Vallée des Rois. Certaines tombes contenaient plusieurs chambres et plus d'une règle.

Les pharaons ont reçu enterrements élaborés contenant une grande variété de marchandises. Au début, les prêtres enterraient les pharaons avec des objets comme des vêtements, des meubles, des jeux et des bijoux. Au cours de la dix-neuvième dynastie, les prêtres ont commencé à les enterrer avec des objets fabriqués pour l'au-delà. Un exemple de ceci sont les figurines d'argile shabti faites pour servir le pharaon. Les prêtres déposaient de la nourriture, de l'huile et de la vaisselle dans les tombes pour nourrir le roi dans l'au-delà.


Voir la vidéo: ET BIEN OUI, LES ÉGYPTIENS EMPLOYAIENT LE MÈTRE, LA COUDÉE, ET LE NOMBRE PI. (Janvier 2022).