Podcasts sur l'histoire

L'au-delà dans la Grèce antique

L'au-delà dans la Grèce antique

Dans la Grèce antique, l'existence continue des morts dépendait de leur souvenir constant par les vivants. L'au-delà, pour les anciens Grecs, consistait en un monde gris et morne à l'époque d'Homère (8e siècle avant notre ère) et, le plus célèbre, nous avons la scène d'Homère Odyssée dans lequel Ulysse rencontre l'esprit du grand guerrier Achille dans le monde inférieur où Achille lui dit qu'il préférerait être un esclave sans terre sur terre qu'un roi dans le monde souterrain. À l'époque de Platon, cependant (IVe siècle avant notre ère), l'au-delà avait changé de caractère, de sorte que les âmes étaient mieux récompensées pour leurs douleurs une fois qu'elles avaient quitté la terre ; mais seulement dans la mesure où les vivants gardaient vivant leur mémoire.

Le pays des morts

L'au-delà était connu sous le nom d'Hadès et était un monde gris gouverné par le Seigneur des morts, également connu sous le nom d'Hadès. Dans ce royaume brumeux, cependant, se trouvaient différents plans d'existence que les morts pouvaient habiter. S'ils avaient vécu une bonne vie et que les vivants s'en souvenaient, ils pourraient profiter des plaisirs ensoleillés de l'Elysée ; s'ils étaient méchants, alors ils tombaient dans les fosses les plus sombres du Tartare tandis que, s'ils étaient oubliés, ils erraient éternellement dans l'obscurité du pays d'Hadès. Alors que l'Élysée et le Tartare existaient à l'époque de l'écrivain Hésiode (contemporain d'Homère), ils n'étaient pas compris à l'époque de la même manière qu'ils sont apparus.

Si les gens avaient vécu une bonne vie et que les vivants s'en souvenaient, ils pourraient profiter des plaisirs ensoleillés d'Elysium.

Dans le dialogue de Platon sur Le Phédon, Socrate délimite les divers plateaux de l'au-delà et précise que l'âme qui, dans la vie, se consacre au Bien est récompensée dans l'au-delà d'une existence bien plus agréable que ceux qui s'adonnaient à leurs appétits et ne vivaient que pour le plaisirs que le monde a à offrir. Comme la plupart des gens, à l'époque comme aujourd'hui, considéraient leurs proches perdus comme des modèles de vertu humaine (qu'ils soient ou non, en fait), il était considéré comme un devoir envers les morts de bien se souvenir d'eux, quelle que soit la vie qu'ils avaient vécue, le erreurs qu'ils avaient commises et, par conséquent, leur fournir une existence continue à Elysium. Ce souvenir n'était pas considéré comme une question de choix personnel, mais plutôt comme une partie importante de ce que les Grecs connaissaient sous le nom d'Eusebie.

La piété dans la Grèce antique

Nous traduisons aujourd'hui le mot grec 'Eusebia' par 'piété' mais eusebia était bien plus que cela : c'était un devoir envers soi-même, les autres et les dieux qui maintenaient la société sur la bonne voie et indiquaient clairement sa place dans la communauté. Socrate, par exemple, a été exécuté par la cité-État d'Athènes après avoir été reconnu coupable d'impiété pour avoir prétendument corrompu la jeunesse d'Athènes et parlé contre les dieux établis. Si injuste que l'on puisse voir aujourd'hui la fin de Socrate, il se serait en effet rendu coupable d'impiété en ce qu'il a encouragé la jeunesse d'Athènes, par son propre exemple, à interroger leurs aînés et leurs supérieurs sociaux. Ce comportement aurait été considéré comme impie dans la mesure où les jeunes n'agissaient pas conformément à l'eusebia, c'est-à-dire qu'ils oubliaient leur place et leurs obligations dans la société.

Eusébie et l'au-delà

De la même manière qu'il fallait se souvenir de son devoir envers les autres dans sa vie, il fallait aussi se souvenir de son devoir envers ceux qui avaient quitté la vie. Si l'on oubliait d'honorer et de se souvenir du mort était considéré comme impie et, bien que cette violation particulière de la conduite sociale n'ait pas été punie aussi sévèrement que la violation de Socrate, elle était certainement sévèrement désapprouvée. Aujourd'hui, si l'on considère les pierres tombales des anciens Grecs - que ce soit dans un musée ou juste en dessous de l'Acropole à Athènes - on trouve des pierres avec des scènes confortables et communes représentées : un mari assis à table pendant que sa femme lui apporte son repas du soir, un homme être accueilli par ses chiens à son retour à la maison. Ces scènes simples n'étaient pas simplement des représentations de moments que le défunt a appréciés dans la vie ; ils étaient destinés à rappeler viscéralement aux vivants qui était cette personne dans la vie, de qui cette personne était encore dans la mort, et à allumer la lumière d'un souvenir continu afin que les « morts » vivent éternellement dans la félicité. Dans la Grèce antique, la mort était vaincue, non par les dieux, mais par l'action humaine de la mémoire.

Vous aimez l'histoire ?

Inscrivez-vous à notre newsletter hebdomadaire gratuite !

Note du contributeur : Cet article a été publié pour la première fois sur le site Web Suite 101. C. 2008 Joshua J. Mark


Grecs anciens : vie quotidienne, croyances et mythes

Quand quelqu'un mourait dans la Grèce antique, il était lavé. Une pièce serait placée dans leur bouche, pour payer les passeurs qui emmenaient les morts à travers les rivières dans les différentes parties des Enfers. Lorsque les Grecs ont conquis l'Égypte, ils ont adopté la tradition égyptienne de momification. Ils utilisaient de simples boîtes pour enterrer leurs morts ou le défunt serait brûlé, et leurs cendres enterrées dans un pot spécial.

Tombes et pierres tombales

Les entrées des tombes, où reposaient les morts, étaient en marbre. Des têtes de Gorgones étaient gravées sur les portes des tombes pour éloigner le mal. Les tombes étaient faites pour empêcher que les morts ne soient oubliés et parfois elles étaient sculptées avec des images, montrant les défunts avec des personnes qu'ils connaissaient dans la vie.

À l'intérieur de la tombe, la famille du défunt plaçait des objets de valeur avec son corps, comme de la poterie, des bijoux et des pièces de monnaie. On croyait qu'ils seraient capables d'utiliser ces objets dans le monde souterrain. Chaque année, les familles visitaient les tombes de leurs proches décédés, faisaient des offrandes et décoraient la tombe.


Vivre la mort grecque antique

Le premier rite de passage, ou prothèse, signifie étendre le corps. (Image : Walters Art Museum/Domaine public)

Se mettre dans les sandales d'un grec mourant

Les anciens Grecs avaient certaines idées sur la mort. L'un des motifs les plus caractéristiques que les gens trouvent sur les pierres tombales de la Grèce antique est la poignée de main entre les vivants et les morts. Les deux personnages font invariablement preuve d'un calme digne. C'est ça la tragédie grecque : regarder la mort droit dans les yeux. En tant que Grecs, ils savaient que des choses terribles se produisaient et ils savaient aussi qu'en les affrontant de front, ils seraient capables de les gérer et de continuer à vivre. On pourrait postuler que les Grecs ont tout compris.

Mais il faut se mettre dans les sandales d'un grec mourant pour le comprendre. C'est une pensée désagréable, mais il n'y a pas moyen d'y échapper si l'on veut vivre pleinement l'autre côté de l'histoire.

Le rôle d'un médecin dans la mort

Supposons que l'on meurt dans sa maison, entouré de ses proches, y compris de jeunes enfants. Il n'y aura pas de médecin à portée de main pour donner des analgésiques.

Un médecin a peut-être proposé un traitement aux premiers stades de la maladie, mais une fois qu'il est devenu inévitable qu'il ne pouvait y avoir qu'un seul résultat, la profession médicale n'avait plus rien à offrir.

Il est également extrêmement improbable qu'un médecin soit appelé pour mettre un terme à sa misère par l'euthanasie, un mot inventé de l'étymologie grecque signifiant « bonne mort », mais qui n'a pas d'équivalent grec ancien. En fait, le serment d'Hippocrate, probablement largement adopté, enjoignait aux médecins qui le prenaient de ne pas administrer de poison à quiconque en ferait la demande et de ne pas proposer un tel cours. Espérons donc que sa dernière maladie soit courte et indolore.

Ceci est une transcription de la série de vidéos L'envers de l'histoire : la vie quotidienne dans le monde antique. Regarde-le maintenant, Wondrium.

Le rôle des dieux dans la mort

Le poète Keats a une merveilleuse ligne dans Ode au rossignol: « J'ai été à moitié amoureux de la mort facile ». Les Grecs conçoivent une mort facile sous la forme du dieu Apollon, qui est venu les abattre avec ses soi-disant « flèches douces ». C'est le meilleur que lui ou tout autre dieux avait à offrir. Ils n'avaient certainement aucune consolation à donner à quelqu'un.

Dans la pièce d'Euripide, le Hippolyte, à la mort d'Hippolyte, la déesse Artémis, à laquelle il s'est consacré exclusivement toute sa vie et avec qui il a entretenu une relation très étroite, lui fait ses adieux. Elle lui explique qu'il n'est pas permis qu'une divinité soit présente à la mort car la pollution que dégage un cadavre la souillerait.

Le seul dieu qui s'est peut-être un peu intéressé au sort des mourants est le dieu guérisseur Asclépios. Lorsque Socrate passe de ce monde à l'autre dans le dialogue de Platon, le Criton, il a ceci à dire : « Je dois un coq à Asclépios. Voir que c'est payé. Des coqs ont été sacrifiés à Asclépios. Socrate indique peut-être qu'Asclépios a facilité son décès, bien qu'il soit également possible qu'il suggère simplement philosophiquement que la mort est un remède pour la vie.

Le premier rite de passage : prothèse

dans la Grèce antique, dès que l'on mourait, les femmes de sa famille commençaient à gémir et à hurler pour que tout le monde dans le quartier soit au courant de la disparition de l'individu. Ce sont aussi les femmes qui ont pris en charge son corps et l'ont préparé pour l'enterrement. Ils ont fermé la bouche et les yeux, attaché une mentonnière autour de la tête et du menton pour empêcher la mâchoire de s'affaisser, ils ont lavé tout le corps, l'ont oint d'huile d'olive, ils ont vêtu le corps et l'ont enveloppé dans un linceul, laissant une seule tête exposée.

Ensuite, ils ont posé le corps sur un canapé avec une tête appuyée sur un oreiller et un pied face à la porte. Après avoir fait tout cela, ils ont chanté des chants funèbres en l'honneur de quelqu'un.

C'est la scène représentée sur les tout premiers vases grecs à décor figuratif. C'est ce qu'on appelle le prothèse, qui signifie littéralement la disposition du corps. Il représente la première étape du processus qui mènera l'un de ce monde à l'autre, "d'ici à là-bas", comme le disaient les Grecs. Pendant ce temps, des parents et des amis appelaient à la maison et se joignaient au deuil.

Le deuxième rite de passage : Ekphora

Le deuxième rite de passage est le ekphora. Ekphora signifie littéralement « l'exécution de son corps », en particulier de son domicile à son lieu de sépulture. Selon la loi athénienne, le ekphora devait avoir lieu dans les trois jours suivant la mort, même si par temps chaud, il est probable que cela aurait eu lieu beaucoup plus tôt. Les ekphora devait avoir lieu avant le lever du soleil pour ne pas créer de nuisance publique.

Si l'on était riche, son corps serait transporté dans une charrette ou une voiture tirée par des chevaux. Cette scène est également représentée sur les premiers vases à décor figuratif. Des pompes funèbres professionnelles peuvent également être employées pour porter le cadavre et défoncer le sol pour l'enterrement. Ces professionnels étaient connus sous le nom de « hommes d'échelle » klimakophoroi, parce qu'ils posaient leur corps sur une échelle, qu'ils portaient horizontalement.

Si des pompes funèbres professionnelles étaient employées, elles n'auraient aucun contact physique avec les membres de la famille avant cette phase. Les Grecs auraient été choqués et consternés par l'idée de remettre son corps à des professionnels pour le préparer à l'enterrement.

Le troisième rite de passage : l'enterrement

La poterie était l'une des plus
cadeaux de fosse commune pour les morts. (Image : British Museum/Domaine public)

Ce sont des proches qui ont dirigé le service funéraire. Aucun prêtre n'était présent non plus. Les prêtres ont été exclus exactement pour la même raison qu'Artémis s'est absentée d'Hippolyte mourant, afin de ne pas encourir de pollution. Parce que s'ils encouraient de la pollution, ils pourraient la transmettre aux dieux.

Absolument rien n'est connu sur les détails du service funéraire. À vrai dire, on ne sait même pas s'il y a eu un service funéraire en tant que tel. Si des mots traditionnels étaient prononcés, ils n'étaient pas enregistrés. L'inhumation et la crémation étaient pratiquées, bien que la crémation, étant plus coûteuse, était considérée comme plus prestigieuse. Si quelqu'un était incinéré, ses proches ramassaient les cendres et les plaçaient dans une urne, qu'ils enterraient ensuite avec les cadeaux funéraires.

Le cadeau funéraire le plus courant était la poterie. En fait, c'est pourquoi tant de vases grecs de haute qualité ont survécu intacts, car ils ont été placés intacts dans le sol.

Au fil du temps, cependant, les Grecs sont devenus plus avares. Il y a de fortes chances que si l'on mourait au IVe siècle avant J.-C., on n'obtiendrait que quelques flacons d'huile connus sous le nom de lêkythoi rempli d'huile d'olive - l'huile d'olive était considérée comme un article de luxe. Certains Grecs, cependant, étaient si avares qu'ils ont acheté lêkythoi avec un récipient interne plus petit pour leur épargner les frais de remplissage du vase entier avec de l'huile. Soi-disant, ils pensaient que les morts ne le remarqueraient pas.

Dès que le remplissage de la tombe a été fait, ils ont érigé une pierre tombale dessus. Après avoir terminé le troisième et dernier rite de passage, toutes les personnes en deuil retournaient à la maison en deuil pour un banquet commémoratif.

Les lois funéraires

Puisque le cadavre d'un an était considéré comme une source de pollution, le mot grec pour la pollution est miasme, ce qui signifie à peu près la même chose en anglais - il fallait être enterré à l'extérieur des murs de la ville. Dans la Grèce antique, l'inhumation dans une colonie était extrêmement rare après le VIIIe siècle av. Il en était de même pour Rome. Le premier code de droit romain, la loi des douze tables, daté de 450 av.

Ce n'est pas certain, mais les origines de la croyance en la pollution peuvent être liées à une sorte de sens primitif de l'hygiène. Les proches décédés et toute autre personne ayant été en contact avec le cadavre ont été interdits de participer à toute activité en dehors du domicile jusqu'à ce que le cadavre ait subi une purification.

La réintégration dans la communauté des personnes en deuil n'a eu lieu que plusieurs semaines après les funérailles. Les proches ont également dû prendre des mesures pour empêcher l'effet polluant de son cadavre de s'infiltrer dans la communauté. Cela comprenait la fourniture d'un bol d'eau apportée de l'extérieur de la maison afin que les visiteurs puissent se purifier en partant.

Questions courantes sur la vie de la mort grecque antique

Les trois étapes sont la pose ou la prothèse, le cortège funèbre ou l'ekphora, et l'enterrement ou l'inhumation.

Les Grecs ont honoré les morts en suivant les trois rites de passage, en construisant les tombes à Ceramicus, le quartier des potiers, et en offrant les objets funéraires.

Les Grecs se préparaient à l'au-delà en suivant les trois rites de passage et en offrant les objets funéraires.

Selon la loi funéraire de la Grèce antique, il fallait être enterré hors des murs de la ville.


Croyances romaines sur la vie après la mort

Les funérailles des morts se déroulaient de manière assez organisée. Cela a été principalement fait par les professionnels. Le professionnel assurait le deuil des femmes, quelques formes de danses et de musique accompagnaient également cela. Il y avait une différence quant à la façon dont les funérailles se déroulaient pour les pauvres et pour les riches.

Pour les pauvres, les funérailles se sont déroulées de manière très simple et pour les riches, les funérailles se sont déroulées à grande échelle et c'était une cérémonie assez fantastique.

Il y avait des gens qui portaient des masques et c'étaient eux qui montaient le char. Les Romains faisaient soit l'enterrement, soit la crémation. En cas de crémation, les morts étaient incinérés sur un bûcher. Les cadeaux et les effets personnels de la personne étaient conservés avec lui dans sa tombe.

Et dans le cas de l'humanisation, les corps étaient protégés. Cette protection se faisait soit à l'aide d'un sac, d'une structure en bois, etc.


Vie après la mort

Références assorties

La croyance en la vie après la mort, qui est maintenue par chacune des religions abrahamiques, soulève la question métaphysique de la définition de la personne humaine. Une certaine forme de dualisme corps-esprit, qu'il soit platonicien ou cartésien, dans lequel l'esprit ou l'âme survit à la mort du…

… fournit un argument pour une vie après la mort dans laquelle les injustices et les inégalités de la vie actuelle sont corrigées.

Religions amérindiennes

Les croyances des Aztèques concernant l'autre monde et la vie après la mort montraient le même syncrétisme. L'ancien paradis du dieu de la pluie Tlaloc, représenté dans les fresques de Teotihuacán, a ouvert ses jardins à ceux qui sont morts par noyade, par la foudre, ou par suite…

… la plupart des groupes croyaient en une vie après la mort. On pensait généralement que les âmes des personnes récemment décédées planeraient autour de la communauté et tenteraient d'inciter des amis proches et des parents à les rejoindre dans leur voyage vers l'éternité ainsi, les rites funéraires élaborés et les tabous étendus associés à la mort…

Religions européennes anciennes

Ils croyaient en une vie après la mort, car ils enterraient de la nourriture, des armes et des ornements avec les morts. Les druides, le premier sacerdoce celtique, enseignaient la doctrine de la transmigration des âmes et discutaient de la nature et du pouvoir des dieux. Les Irlandais croyaient en un autre monde, imaginé parfois comme underground…

… et une image imaginative de l'au-delà. Les vivants étaient perpétuellement obsédés par leur souci des morts, exprimé dans des tombes élaborées, magnifiquement équipées et décorées et des sacrifices somptueux. Car, malgré les croyances en un monde souterrain, ou Hadès, il y avait aussi une conviction que l'individualité des morts en quelque sorte…

… fait allusion au genre de vie après la mort qui était attendue pour le défunt. Le concept d'au-delà, semblable à celui d'Elysium, a prévalu à l'époque archaïque, mais au cours des siècles suivants, l'accent est mis de plus en plus sur le royaume plus sombre des enfers. Des fresques montrent son souverain, Hadès (étrusque Aita), vêtu d'une peau de loup…

Aucune conception unifiée de l'au-delà n'est connue. Certains ont peut-être cru que les guerriers tombés au combat iraient au Valhalla pour vivre heureux avec Odin jusqu'au Ragnarök, mais il est peu probable que cette croyance soit répandue. D'autres semblaient croire qu'il n'y avait pas d'au-delà. Selon le « Hávamál », tout…

…on croyait, au royaume d'Hadès par Hermès, mais le chemin était barré, selon les récits populaires, par la rivière marécageuse Styx. À travers cela, Charon a transporté tous ceux qui avaient reçu au moins un enterrement symbolique, et des pièces de monnaie ont été placées dans la bouche des cadavres pour payer le prix.

… les dernières choses, en particulier la mort et l'au-delà) avec leurs découvertes, ils ont investi la musique, la géométrie et l'astronomie avec des valeurs religieuses. Selon leur doctrine, le foyer originel de l'âme était dans les étoiles. De là, il tomba sur terre et s'associa au corps. Ainsi, l'homme était un étranger sur…

… la plupart des idées des Romains sur l'au-delà, à moins qu'ils ne croyaient aux promesses des religions à mystères, étaient vagues. De telles idées équivalaient souvent à un espoir ou à une crainte prudents que l'esprit dans un certain sens vivait, et cela était parfois combiné avec une anxiété que les fantômes des morts,…

Religions anciennes du Proche et du Moyen-Orient

…pour le tombeau et le monde à venir. Les rois égyptiens sont communément appelés pharaons, selon l'usage de la Bible. Le terme pharaon, cependant, est dérivé de l'égyptien par aa (« grand domaine ») et date de la désignation du palais royal en tant qu'institution. Ce terme pour palais a été utilisé…

La croyance en une vie après la mort et un passage vers elle est évidente dans les sépultures prédynastiques, qui sont orientées vers l'ouest, le domaine des morts, et qui comprennent des objets funéraires en poterie ainsi que des biens personnels du défunt. Le développement le plus frappant de la pratique mortuaire ultérieure a été…

… notion indo-européenne commune de l'au-delà, représentée comme un pâturage avec du bétail au pâturage "pour lequel le roi mort part". Cela suggère que les ancêtres indo-européens des derniers locuteurs du hittite, du palaique et du luwian, ainsi que ceux des membres mineurs de ce groupe, sont entrés ensemble en Anatolie, à la suite d'un…

Religions modernes

…de la continuation personnelle de la vie après la mort. De nombreux premiers chrétiens baptisés étaient convaincus qu'ils ne mourraient pas du tout, mais qu'ils connaîtraient tout de même l'avènement du Christ de leur vivant et qu'ils entreraient directement dans le Royaume de Dieu sans mort. D'autres étaient convaincus qu'ils passeraient par le…

… la capacité de détruire et de ramener à la vie toutes les créatures, qui sont limitées et sont, par conséquent, soumises à la puissance illimitée de Dieu.

… est née une croyance en une vie après la mort, pour laquelle les morts seraient ressuscités et subiraient le jugement divin. Avant cela, l'individu devait se contenter que sa postérité perdure au sein de la nation sainte. Mais, même après l'émergence de la croyance en la résurrection des morts, l'essentiellement ethnique…

… peut avoir continué à exister, mais cela ne devait plus être compris comme la vie. L'existence des morts dans le shéol, l'enfer, n'était pas la vie mais l'ombre ou l'écho de la vie. Pour la plupart des auteurs bibliques, cette existence était sans expérience, ni de Dieu ni de quoi que ce soit…

… position extrêmement subtile qui assimilait l'immortalité au clivage de l'intellect humain à l'intellect actif de l'univers, la limitant ainsi aux philosophes ou à ceux qui ont accepté une théologie philosophique appropriée sur la foi. Peu ou pas de consensus était évident dans la période moderne, bien que la langue de…

…croyance, chaque personne après sa mort devient un kami, un être surnaturel qui continue de participer à la vie de la communauté, de la nation et de la famille. Les hommes bons deviennent bons et bénéfiques kamis, les mauvais hommes deviennent pernicieux. Être élevé au statut d'être divin n'est pas…

…le destin attend les individus dans l'au-delà. Chaque acte, parole et pensée est considéré comme étant lié à une existence après la mort. L'état terrestre est lié à un état au-delà, dans lequel le Seigneur Sage récompensera les bons actes, paroles et pensées et punira les mauvais. Ce motif pour…

Aspects théologiques

Concept de

… le don de l'immortalité cet au-delà a d'abord été recherché par les pharaons puis par des millions de gens ordinaires. Le second était le concept d'un jugement post mortem, dans lequel la qualité de la vie du défunt influencerait son destin ultime. La société égyptienne, a-t-on dit, se composait de…

… âme avec survie personnelle ou continuité après la mort, il existe une vision tout aussi ancienne qui met l'accent sur la continuité de la vie. Ce point de vue, auquel l'anthropologue néerlandais Albertus Christiaan Kruyt a donné le terme soul-stuff (un terme qu'il a opposé à l'âme post mortem), se retrouve principalement chez les riziculteurs de…

… que la mort est suivie de la vie éternelle ailleurs – au shéol, en enfer ou au paradis – et qu'il y aura finalement une résurrection physique universelle. D'autres (par exemple, les bouddhistes, les orphiques, les pythagoriciens et Platon) ont soutenu que les gens renaissent dans le flux temporel de la vie sur terre

Pour donner aux morts une nouvelle vie au-delà de la tombe, les personnes en deuil peuvent permettre au sang vivifiant de tomber sur le cadavre sacramentellement. Dans ce cycle d'idées et de pratiques sacramentelles, le don, la conservation et la promotion de la vie, ainsi que l'établissement d'un lien d'union avec l'ordre sacré, sont…

…est de faire appel à une vie après la mort, les épreuves de cette vie, qu'elles soient causées par le mal naturel ou par le mal moral, ne sont rien comparées aux récompenses à venir, et elles sont un facteur nécessaire pour se préparer à l'au-delà par le biais d'un entraînement moral et mûrissement. Cette ligne…


Le théâtre dans la Grèce antique

Le théâtre dans l'Athènes antique a été joué à l'agora. Plus tard, les événements théâtraux sont devenus si importants qu'ils ont été déplacés dans un auditorium en plein air sous l'Acropole athénienne. Des auditoriums en plein air ont été construits dans la plupart des villes grecques, certains pouvant accueillir jusqu'à 15 000 spectateurs.

Les représentations théâtrales sont devenues une partie de la fête religieuse de Dionysos, le dieu du vin. Le festival a duré cinq jours et a eu jusqu'à trois drames complets joués en une journée. Les drames ont été jugés dans le cadre de concours et les acteurs et dramaturges gagnants ont reçu des prix. Les drames étaient parrainés par de riches citoyens connus sous le nom de chorégoï.

Trois types de pièces se sont développées dans la Grèce antique, la tragédie, la comédie et la satire. Une tragédie concernait les héros et les dieux grecs. Les intrigues montraient souvent des conflits entre les hommes et les dieux, et les fins étaient souvent mauvaises pour les personnages principaux. Les comédies étaient souvent des histoires à caractère politique, ou elles mettaient en scène des conflits entre hommes et femmes. Ils étaient censés être amusants et légers. Les satires étaient souvent des histoires pleines d'esprit, tranchantes et ironiques qui se moquaient du vice et de la folie humains.

Les premières pièces ont été jouées avec un seul acteur, mais les distributions ont ensuite été élargies pour inclure trois acteurs. Les acteurs portaient des masques qui signalaient au public l'identité et éventuellement l'humeur du personnage à un certain moment ou scène de la pièce. Un acteur a joué plusieurs rôles, changeant de masque pour représenter différents personnages. Les costumes des acteurs signalaient l'humeur et les caractéristiques du personnage. Des vêtements plus sombres étaient associés au personnage tragique, et des vêtements légers étaient associés à des rôles joyeux ou amusants.


L'histoire du jeu dans la Grèce antique

Les formes modernes de jeu remontent à de nombreuses cultures anciennes, de la Chine à l'Égypte et au-delà.

Pourtant, la vérité est que la Grèce antique a joué un plus grand rôle dans le développement des formes modernes de jeu que la plupart des endroits.

Un regard sur les origines du jeu en Grèce

Vous ne vous attendriez pas à des casinos avec les machines à sous les plus payantes, mais la Grèce antique avait ses propres moyens de placer des paris.

Des jeux de hasard basés sur des lancers de dés et des pièces de monnaie ont été mentionnés dans certains livres et histoires grecs anciens. Certaines sources suggèrent que le jeu de poker a peut-être également commencé ici, bien que d'autres pensent qu'il a d'abord été joué en Chine ou en Perse.

Dés icosaèdre grec ancien

Ce que l'on ne peut nier, c'est que le jeu était extrêmement populaire dans cette culture, avec des endroits spéciaux où les joueurs pouvaient aller pour placer des paris. On le voit aussi dans les sculptures et les peintures, avec des gens pariant sur les combats et les courses.

Fait intéressant, les dieux Hermès et Pan auraient tous deux placé des paris, tandis que Zeus, Poséidon et Hadès ont décidé comment diviser le monde en tirant des pailles. Pourtant, certains philosophes grecs étaient contre le jeu et pensaient qu'il nuirait à la civilisation s'il n'était pas contrôlé.

Certains des jeux les plus populaires

L'un des jeux qui est souvent mentionné comme étant populaire dans les temps anciens en Grèce est pile et face. Cela se jouait d'abord avec des coquillages, avant que l'introduction des pièces de monnaie ne permette de parier plus facilement de quel côté se retrouverait face vers le haut. Pitch and Toss était un jeu qui consistait à lancer des pièces contre un mur.

Le jeu le plus simple de tous était peut-être celui appelé Par Impar Ludere. Un joueur tenait un tas de petits objets dans une main et l'autre personne devait deviner si le nombre total d'objets était pair ou impair. Les Grecs pariaient sur le résultat, et il est également devenu populaire dans l'empire romain. On pense également que le jeu a été un facteur important dans les premiers Jeux Olympiques

On prétend que Palamède a inventé les dés lorsque Troie était assiégée et que cela a conduit à l'utilisation de ses dés dans un temple de la Fortune à Corinthe. Cependant, cela semble n'être qu'une légende, car la première mention de dés en Grèce remonte à 6000 avant notre ère.

Une théorie qui traverse l'amour des anciens Grecs pour le jeu est que les dieux contrôlaient les jeux. Même le résultat d'un jeu de pure chance comme le lancer de dés était considéré comme étant dans le giron des dieux.

Astragale grec ancien utilisé pour jouer à des jeux de hasard

Le jeu moderne en Grèce

Si nous avançons rapidement dans le temps jusqu'à nos jours, nous pouvons voir que le jeu en Grèce est légal dans les établissements terrestres. Les grandes villes ont toutes tendance à avoir quelques casinos, tandis que les îles populaires auprès des touristes offrent également des casinos aux visiteurs.

Parmi les casinos les plus célèbres du pays se trouve le Mont Parnes Regency Casino d'Athènes. Il date des années 1960 et est situé dans la forêt nationale de Parnitha. Un point de repère luxueux dans la capitale, c'est un casino élégant avec de nombreuses façons de jouer.

Apparemment, le plus ancien casino de Grèce a été construit à Loutraki au début du 20e siècle. La plupart des casinos modernes sont ici des établissements raffinés et exclusifs où les joueurs peuvent parier dans le confort.

La Commission grecque des jeux de hasard contrôle les paris dans le pays, tandis que les joueurs en Grèce peuvent accéder facilement et en toute sécurité à une large gamme de casinos en ligne et de sites de paris sportifs d'opérateurs étrangers. Cela signifie qu'actuellement, les gens peuvent parier sur le football, le tennis et le basket-ball en ligne.

C'est encore une zone grise, car les régulateurs grecs et les tribunaux européens ont produit des opinions différentes sur la légalité des jeux d'argent en ligne en Grèce.

Par conséquent, il vaut la peine de garder un œil sur toute modification future de la législation dans ce secteur en évolution rapide qui pourrait avoir un effet sur les acteurs grecs.


La vie grecque telle qu'elle est représentée dans l'épopée d'Homère : l'Odyssée

Dans l'épopée d'Homère, L'Odyssée, divers aspects des anciens Grecs sont révélés à travers les actions, les personnages, l'intrigue et les mots. Homère utilise ses talents de dramaturge, de poète et de philosophe pour informer le public de l'histoire, des fiertés et des réalisations des Grecs anciens, et aussi pour parler des nombreuses valeurs et de la culture aux multiples facettes de la caste grecque antique. . Les Grecs avaient de nombreuses valeurs et coutumes, dont les principes fondamentaux sont les caractéristiques mentales d'un individu, les caractéristiques physiques d'un individu, les loisirs et les passe-temps dont jouissaient les Grecs, la manière dont un hôte traite un invité, les aspects religieux, et enfin, le point de vue des Grecs sur la vie, révélé dans L'Odyssée qui montre et définit leur culture

L'une des caractéristiques mentales les plus importantes que les anciens Grecs appréciaient était l'intelligence et l'esprit d'un individu. Cela peut être discerné de L'Odyssée en raison de nombreux cas et événements dans lesquels Ulysse utilise l'esprit de son cerveau et d'autres astuces pour se sortir d'une situation à risque. Par exemple, lorsqu'il dit à Polyphème le Cyclope qu'il s'appelle Personne, lorsqu'il surmonte la magie de Circé à l'aide de molybdène, lorsqu'il remplit les oreilles de ses hommes de cire et s'attache à un poteau pour que lui et ses hommes puissent s'en sortir. les sirènes en toute sécurité, et quand il se déguise en mendiant et révèle sa véritable identité à quelques-uns. Ulysse est de loin « le meilleur des hommes mortels pour les conseils et les histoires » (Bk. XIII, 297 – 298). En outre, on dit qu'Ulysse est capable d'égaler un dieu dans l'esprit et la ruse (Bk. XIII, 291 - 295). Penelope, la femme d'Ulysse utilise également son esprit et sa ruse pour se sortir de situations. Un exemple de ceci est quand elle prétend tisser un linceul pour Laërte, mais en fait défait la nuit autant qu'elle l'avait fait le matin. Athéna, la déesse de la sagesse, fournit un autre exemple de l'utilisation de l'esprit et des astuces. Athéna déguise Ulysse en mendiant et l'entoure également d'un brouillard à plusieurs reprises afin que ses anciennes connaissances ne le voient pas ou ne le reconnaissent pas.

D'autres caractéristiques mentales importantes que les Grecs appréciaient sont la fidélité et la loyauté. Il y a beaucoup, beaucoup d'exemples de loyauté et de fidélité dans L'Odyssée. Les quatre exemples les plus significatifs sont Pénélope, Eumaios, Philoitois et Argos. Penelope est la fidèle épouse d'Ulysse qui n'a jamais couché avec quelqu'un d'autre qu'Ulysse, même si elle a été tentée. Elle continue également d'espérer qu'Ulysse est toujours en vie et qu'il reviendra un jour à la maison. Eumaios est le fidèle porcher qui aide Ulysse à vaincre les prétendants. Philoitois est le fidèle troupeau de bœufs qui aide également Ulysse à vaincre les prétendants. Argos est le « chien au cœur patient » (Bk. XVII, 292) d'Ulysse. Ulysse teste ces individus (sauf le chien) pour décider s'il peut leur faire confiance ou non. Il teste également d'autres individus, tels que les serviteurs, pour savoir s'ils lui sont fidèles ou non.

Les caractéristiques physiques étaient tout aussi importantes pour les Grecs que les caractéristiques mentales. La force était l'une des caractéristiques physiques les plus considérées. La force était un test courant et était utilisée pour évaluer la place d'un homme dans le monde réel. Penelope a utilisé la force comme test pour la compétition pour les prétendants. Le concours était de pouvoir corder l'arc d'Ulysse et de le tirer avec précision, le prix (mariage de Pénélope) revenant à « celui qui prend l'arc dans ses mains, le corde avec la plus grande facilité, et envoie une flèche nette à travers les douze haches” (Bk. XXI, 75 – 76). La force faisait également partie de la compétition du Phaiakian. La force était nécessaire pour le lancer du disque (dans lequel Ulysse excellait), la lutte et la boxe. Aussi, les Grecs aimaient la compétition, prouvé par le fait qu'ils incitaient Ulysse et Iros à se battre. Et quand ils ont finalement vu du sang, ils sont devenus fous, riant et applaudissant comme si c'était la chose la plus excitante au monde.

Les Grecs appréciaient de nombreuses récréations et passe-temps, parmi lesquels la danse, le chant et la narration étaient dominants. Les Phaiakians étaient connus pour leurs compétences terpsichoriennes, et comme l'a dit Ulysse, l'émerveillement et la crainte le regardaient lorsqu'il regardait la danse (Bk. VIII, 382 – 384). Le chant était aussi un loisir apprécié. Les chanteurs étaient connus et appréciés de tous. Comme Ulysse l'a dit à Démodokos : « Démodokos, je te chéris par-dessus tous les mortels » (Bc. VIII, 487). Le seul survivant de ceux qui avaient comploté contre Ulysse était Phémios, le chanteur des prétendants. Il survit car Ulysse lui permet de vivre grâce à son don de voix des dieux. Comme Télémaque le dit à propos des prétendants : « C'est tout ce à quoi ils pensent, la lyre et le chant » (Bc. 1, 159). La narration est encore une autre vertu et est prisée par les Grecs. Ménélas raconte ses aventures à Télémaque, Ulysse raconte ses aventures aux Phaiakians, et Ulysse raconte ses fausses aventures à Eumaios. Un autre passe-temps que les Grecs appréciaient beaucoup est le festin, ou en termes grossiers, manger et boire. Les prétendants mangent toujours et fournissent beaucoup, même s'ils mangent du bétail d'Ulysse et boivent du vin d'Ulysse. Ils organisent de nombreux concours de boisson pour voir qui peut boire le plus, et généralement, à la fin, les concurrents deviennent généralement bachiques. Les prétendants ont toujours un « désir de manger et de boire » (Bc. 1, 150) selon Télémaque.

Le traitement d'un invité était très important à l'époque des anciens Grecs. Cela a défini votre classe sociale et vous a également aidé en faveur de Zeus, qui est le dieu des voyageurs et des invités. Un large éventail de choses peut être classé comme hospitalité, mais l'idée générale est toujours la même et ne peut pas changer. L'hospitalité consistait à donner à tout étranger de la nourriture, de la chaleur, un abri et du réconfort avant de poser des questions telles que son nom, son héritage ou son moyen de transport. L'hospitalité signifiait également une oreille attentive à chaque mot et le respect de chaque mot également. En outre, l'hôte est responsable d'être l'égide de l'invité pendant que l'invité réside chez lui. Télémaque estime qu'il ne peut pas fournir cela à son père (sous la forme d'un mendiant), et a donc honte. « Comment puis-je emmener et divertir un invité étranger dans ma maison ? Je suis moi-même jeune et je n'ai pas confiance dans la force de mes mains pour défendre un homme, si quelqu'un d'autre se brouille avec lui (Bc XVI, 69-72). Les exemples de bonne hospitalité sont abondants tout au long de l'Odyssée, comme lorsqu'Athéna se rend à Télémaque à Ithaque, lorsque Télémaque se rend à Nestor, lorsque Télémaque se rend à Ménélas, lorsqu'Ulysse se rend chez les Phaiakiens et lorsqu'Ulysse se rend à Eumaios. Les cadeaux à l'arrivée sont attendus, mais les cadeaux au départ ne sont pas toujours présents. Cependant, dans le cas d'un hôte riche, généreux ou amical, des cadeaux, même ceux avec des valeurs incalculables et immenses peuvent être échangés.

Les croyances religieuses et les aspects de la culture grecque antique sont très définis et stricts. Les Grecs croyaient que le monde était surveillé par Zeus et d'autres dieux olympiens, et que ces dieux décidaient de leur avenir. Ils croyaient aussi que la volonté des dieux pouvait être tournée avec des sacrifices. C'est pourquoi Ulysse, Télémaque et bien d'autres personnages ont fait tant de sacrifices aux dieux. Ces personnages prient également les dieux afin que les dieux puissent les entendre et réaliser leurs souhaits. Les Grecs croyaient aussi à la « vie » après la mort dans le monde souterrain avec Hadès. Un autre aspect religieux de la culture grecque était les prophéties. Les prophéties et les prophètes étaient abondants, mais l'offre de prophéties et de prophètes précis était beaucoup moins abondante, et les demandes pour ceux-ci étaient élevées, ce qui les rendait rares. Les deux principaux prophètes de l'Odyssée étaient Tirésias et Théoklymenos. Tirésias était un prophète mort qu'Ulysse est allé consulter dans le monde souterrain. Il a prophétisé avec précision la plupart des aspects du voyage d'Ulysse et grâce à lui, Ulysse a pu survivre à ses errances. Theoklymenos était un prophète d'une famille de prophètes. Il pouvait prophétiser assez précisément à partir des augures d'oiseaux, comme le montre lorsqu'il prophétise que Télémaque « aura un pouvoir seigneurial pour toujours » (Bk. XV, 534). Homère utilise pas mal d'augures d'oiseaux dans L'Odyssée, un au début pour avertir les prétendants du retour d'Ulysse (Bk. II, 146 - 154), et deux vers la fin, tous deux pour symboliser le triomphe d'Ulysse sur les prétendants.

Les anciens Grecs avaient une vision optimiste de la vie, une vision qui fait des fins agréables et heureuses, mais qui n'est malheureusement pas très réaliste. Les Grecs croyaient qu'à la fin de toute épreuve ou endurance, la justice émergerait et montrerait son sourire victorieux à la victime. Ils croyaient que la persévérance et la détermination finiraient par s'imposer. Les Grecs croyaient également que dans une bataille entre le bien et le mal, le bien finirait par triompher. Le point de vue selon lequel le bien triomphe contre le mal peut être vu dans l'épopée où Ulysse (bon) tue tous les prétendants (mauvais) contre des chances pratiquement impossibles. L'opinion selon laquelle la justice finira par émerger est illustrée dans L'Odyssée lorsque tous les serviteurs et servantes infidèles sont tués.La vision de la persévérance et de la détermination qui réussit est prouvée par le fait qu'Ulysse « qui, après beaucoup de souffrances, est revenu au moins dans la vingtième année dans son propre pays » (Bk. XXIII, 101 – 102) a survécu à tous ses naufrages, attaques , et d'autres obstacles et réussit finalement à rentrer à la maison.

Tout au long de L'Odyssée, les valeurs grecques et la culture grecque sont constamment façonnées par le flux de la plume de l'auteur, qui raconte une histoire avec une intrigue complexe. L'épopée permet au public moderne de connaître l'époque où les hommes se battaient avec leurs mains et leur tête, où les dieux dominaient les cultures et où l'amour et la fidélité signifiaient quelque chose. L'Odyssée est une grande œuvre d'un grand poète, Homère, qui non seulement capture l'essence de l'esprit et de la culture grecs anciens, mais raconte également une histoire qui peut être transmise de génération en génération, sans aucune crainte de vieillir.


Sections coniques dans la Grèce antique

La connaissance des sections coniques remonte à la Grèce antique. Menaechmus est crédité de la découverte des sections coniques autour des années 360-350 avant JC. il est rapporté qu'il les a utilisés dans ses deux solutions au problème de "doubler le cube". A la suite des travaux de Menaechmus, ces courbes ont été étudiées par Aristée et par Euclide. La prochaine contribution majeure à la croissance de la théorie de la section conique a été faite par le grand Archimède. S'il a obtenu de nombreux théorèmes concernant les coniques, il ne semble pas qu'il ait publié d'ouvrage consacré uniquement à elles. Apollonius, d'autre part, est connu comme le « Grand Géomètre » sur la base de son texte Conic Sections, une série de huit « livres » (ou en termes modernes, « chapitre ») sur le sujet. Les quatre premiers livres nous sont parvenus dans le grec ancien original, mais les livres V-VII ne sont connus que par une traduction arabe, tandis que le huitième livre a été entièrement perdu.

Dans les années qui ont suivi Apollonius, la tradition géométrique grecque a commencé à décliner, bien qu'il y ait eu des développements dans l'astronomie, la trigonométrie et l'algèbre (Eves, 1990, p. 182). Pappus, qui a vécu environ 300 après JC, a approfondi l'étude des sections coniques quelque peu de manière mineure. Après Pappus, cependant, les sections coniques ont été presque oubliées pendant 12 siècles. Ce n'est qu'au XVIe siècle, en partie à cause de l'invention de l'imprimerie et de la diffusion qui en a résulté des travaux d'Apollonius, que des progrès significatifs dans la théorie ou les applications des sections coniques se sont produits, mais quand cela s'est produit, dans les travaux de Kepler, c'était dans le cadre de l'une des avancées majeures de l'histoire des sciences.

Cet article examinera l'histoire des sections coniques dans la Grèce antique. Nous examinerons les travaux des mathématiciens susmentionnés relatifs aux sections coniques, avec une attention particulière accordée au texte d'Apollonius sur les sections coniques.

Pappus et Proclus

Il peut sembler étrange de commencer par ces chiffres tardifs, mais la signification de Pappus et de Proclus doit être établie tôt. Alors que Pappus d'Alexandrie était un mathématicien et géomètre compétent, nous nous intéressons ici à son travail de commentateur mathématique et d'historien des mathématiques. Résidant principalement à Alexandrie, environ 500 ans après qu'Euclide, Archimède et Apollonius aient honoré la scène intellectuelle, Pappus a écrit plusieurs commentaires sur les travaux de nombreux grands mathématiciens du passé (c'est-à-dire de son passé !). L'une de ses contributions les plus importantes a été sa collection mathématique, une série de huit livres qui comprenait des commentaires et des notes historiques, ainsi que plusieurs propositions originales et extensions d'œuvres existantes. Dans le livre VII, il discute douze traités du passé qui comprenaient les sections coniques d'Apollonius, les loci de surface d'Euclide et les loci solides d'Aristée (Eves, 1990, p. 183-4). Pappus nous donne un bon aperçu de la vie et des œuvres des géomètres grecs. Il avait accès à des ouvrages aujourd'hui perdus, et en plus d'être un mathématicien de talent à part entière, il fournit un lien précieux avec la géométrie grecque antique.

Proclus, qui vécut au Ve siècle après J.-C., était également un historien mathématicien de renom. Comme Pappus, il a eu accès à une documentation originale des mathématiques des époques classique et hellénistique qui n'est plus disponible. Son Eudemian Summary est une source inestimable d'informations sur les premiers travaux mathématiques grecs jusqu'à Euclide (Eves, 1990, pp. 74-75). Son autorité sera invoquée dans cet article, en particulier lors de l'examen de l'influence d'Aristée et d'Euclide.

Ménaechme

Selon la tradition, l'idée des sections coniques est née de l'exploration du problème du « doublement du cube ». Ce problème, et l'histoire qui l'accompagne, est présenté dans une lettre d'Eratosthène de Cyrène au roi Ptolémée Euergète, qui nous est parvenue telle que citée par Eutocius dans son commentaire d'Archimède sur la sphère et le cylindre, qui apparaît dans Heath. Eratosthène a dit au roi que le légendaire roi Minos souhaitait construire un tombeau pour Glaucus et a estimé que ses dimensions actuelles - cent pieds de chaque côté - étaient insuffisantes.

    Trop petit ton plan pour lier un tombeau royal. Qu'il soit encore double de sa belle forme N'échoue pas, mais hâte-toi de doubler de chaque côté.

De toute évidence, doubler de chaque côté augmentera le volume d'un facteur de huit, et non du facteur souhaité de deux. Les mathématiciens travaillaient assidûment sur ce problème, mais avaient d'énormes difficultés à le résoudre. Une percée d'une sorte s'est produite quand Hippocrate de Chios a réduit le problème au problème équivalent de « deux moyennes proportionnelles », bien que cette formulation se soit avérée pas plus facile à manipuler que la précédente (Heath, 1961, p. xviii). Eratosthène a poursuivi en mentionnant les Déliens, qui s'intéressaient exactement au même problème de "doubler un cube". Lorsqu'ils ont fait appel aux géomètres de l'Académie Platon à Athènes pour une solution, deux géomètres ont trouvé des réponses au problème des proportions moyennes équivalentes. Archytas de Tarente utilisait des « demi-cylindres », et Eudoxe utilisait des « lignes courbes ». Ces solutions, cependant, ne donnaient que des démonstrations de l'existence du nombre désiré en tant que quantité géométrique, mais elles ne pouvaient pas réellement construire la proportion moyenne mécaniquement, de sorte qu'elles n'atteignirent le point d'application pratique que lorsque Menaechmus, qui l'atteignit avec un difficulté (Heath, 1961, pp. xvii-xviii).

La mention ci-dessus des proportions moyennes d'Hippocrate est intéressante. Cela signifie que, étant donné deux longueurs a et b, nous trouvons x et y tels que a:x::x:y et x:y::y::b, ou en notation moderne a/x=x/y =y/b si on note ce rapport par r, alors r^3 = (a/x)(x/y)(y/b)=a/b, et comme Hippocrate l'a noté, que si le segment a est deux fois plus long que le segment b, alors le doublement du cube serait résolu en utilisant la longueur r. Inutile de dire qu'il n'avait pas de notation algébrique capable de soutenir l'argument sous la forme que nous lui avons donnée, et devait argumenter directement.

Menaechmus était un élève d'Eudoxe, un contemporain de Platon (Heath, 1921, p. 251). Une grande partie de ce que nous savons sur le travail de Menaechmus nous vient des commentaires d'Eutocius, un savant grec qui a discuté des travaux de nombreux mathématiciens de son époque et d'autrefois, y compris Menaechmus, Archimède et Apollonius. Dans ses solutions, Menaechmus trouve essentiellement l'intersection de (ii) et (iii) (voir Solution 1, ci-dessous), puis, alternativement, l'intersection de (i) et (ii) (voir Solution 2, ci-dessous). La démonstration de Ménaechmus traite du cas général des proportions moyennes. Une fois que nous avons cela, nous pouvons prendre le cas particulier a=2b pour doubler le cube. Avant de donner ces deux solutions, il convient de noter que Menaechmus n'a pas utilisé les termes "parabole" et "hyperbole" - ces termes sont dus à Apollonius. Au lieu de cela, il a appelé une parabole une « section d'un cône à angle droit », et une hyperbole une « section d'un cône à angle obtus » (Heath, 1921, p. 111).

    Solution 1 :
  • Soit AO, AB deux droites données telles que AO > AB et qu'elles forment un angle droit en O.
  • Supposons que le problème soit résolu et que les deux proportionnelles moyennes soient OM mesuré le long de BO produit et ON mesuré le long de AO produit. (Heath, 1921, p. 253).
  • Complétez le rectangle OMPN.
  • Parce que AO : OM = OM : ON = ON : OB, on a par multiplication croisée les relations suivantes :
  • (1) OB.OM = ON² = PM² [le "." fait référence à la multiplication], de sorte que P repose sur une parabole qui a O pour sommet, OM pour axe et OB pour latus rectum.
  • (2) AO.OB = OM.ON = PN.PM, tel que P se trouve sur une hyperbole avec O comme centre, et OM et ON comme asymptotes.
  • Pour trouver le point P, il faut construire la parabole en (1) et l'hyperbole en (2), et une fois fait, l'intersection des deux résout le problème, pour AO : PN = PN : PM = PM : OB .
    Solution 2 :
  • Supposons que AO et AB soient donnés et que le problème soit résolu comme dans les deux premières étapes de la solution 1.
  • Encore une fois, nous avons AO : OM = OM : ON = ON : OB, ce qui nous donne
  • (1) comme dans la solution 1, la relation OB.OM = ON² = PM ², telle que P repose sur une parabole qui a O pour sommet, OM pour axe, et OB pour latus rectum.
  • (2) la relation AO.ON = OM² = PN², telle que P repose sur une parabole qui a O pour sommet, ON pour axe et OA pour latus rectum.
  • Pour trouver le point P, il faut construire les deux paraboles décrites en (1) et en (2). L'intersection nous donne le point P tel que AO PN = PN : PM = PM : OB

S'il est évident que Menaechmus a utilisé ce qui est devenu plus tard connu sous le nom de sections coniques, avait-il vraiment en tête une construction impliquant un cône lorsqu'il a résolu le problème du doublement du cube ? Heath soutient qu'il l'a fait, pour la raison suivante. Dans la même lettre d'Ératosthène à Ptolémée mentionnée ci-dessus, Ératosthène a déclaré, à propos d'une discussion sur sa propre solution au problème, qu'il n'y a pas besoin de recourir à « la coupe du cône dans les triades de Ménaechme » (Heath, 1961, xviii). Outre cette citation figurant dans le commentaire d'Eutocius sur Archimède, Proclus confirme que les coniques ont été découvertes par Menaechemus (Heath, 1961, XIX).

Maintenant que nous avons vu comment Menaechmus a appliqué pour la première fois les sections coniques, on peut se demander : « Comment a-t-il pensé à obtenir ces courbes à partir d'un cône ? ». Bien qu'il n'y ait pratiquement aucune information sur cette question elle-même, l'intuition nous dit que les compétences d'observation pointues des mathématiciens grecs seraient attirées par de telles formes. Il est probable que la première section conique remarquée dans la nature aurait été une ellipse. Si l'on coupe un cylindre à un angle autre qu'un angle droit par rapport à son axe, le résultat est une ellipse. En fait, Euclide note dans ses Phénomènes qu'un cône ou un cylindre coupé par un plan non parallèle à la base donne une section d'un cône à angle aigu qui est "semblable à un [bouclier]" (Heath, 1921, 125). Une extension naturelle de ce phénomène se ferait par la coupe d'un cône d'une manière similaire. Ensuite, ils ont peut-être déplacé le plan de coupe pour qu'il ne coupe pas complètement le cône. Quels types de courbes en résultent ? En quoi chacune de leurs propriétés est-elle similaire aux autres sections ? Comment sont-ils différents? Il s'agit d'une discussion possible, et probablement simplifiée, du flux d'idées qui a conduit à l'étude des sections coniques.

Neugebauer suggère que l'origine du concept se trouve dans la théorie des cadrans solaires, puisque le faisceau de rayons lumineux impliqué dans la conception des cadrans solaires est un cône qui est coupé par le plan de l'horizon dans une hyperbole, et une partie de cette hyperbole est puis marqué sur le cadran solaire.

Selon Geminus, les anciens faisaient tourner un triangle rectangle autour d'une de ses jambes pour déterminer un cône. De plus, seuls les cônes droits étaient connus. Parmi ces cônes à angle droit, il existe trois types. De toute évidence, l'angle vertical au sommet du cône pourrait être inférieur à quatre-vingt-dix degrés, supérieur à quatre-vingt-dix degrés, ou exactement quatre-vingt-dix degrés (Heath, 1921, p. 111). Nous verrons plus tard, lorsque nous étudierons Apollonius, qu'il existe une différence fondamentale dans les types de cônes qu'il considère. Le segment reliant le "point haut" du cône au centre de la base circulaire est toujours un angle droit. Apollonius considère qu'une forme plus générale du cône ne suppose pas l'angle droit (Heath, 1961, p. 1). En retournant les cônes spécialisés du compte de Geminus, ces cônes ont été appelés cônes à angle aigu, à angle obtus et à angle droit (à ne pas confondre avec les cônes droits, qui font référence à la révolution d'un triangle rectangle). En plus des deux noms donnés précédemment pour l'hyperbole et la parabole, une ellipse était connue sous le nom de « section d'un cône à angle aigu » (Heath, 1921, p. 111).

On ne sait rien des méthodes utilisées par Ménaechmus pour traiter ces courbes (Cajori, 1924, p. 27). Heath discute de ce qu'il appelle sa méthode "probable", basée sur l'hypothèse que les constructions de Menaechmus de ses courbes seraient probablement plutôt simples et directes, mais suffisamment instructives pour démontrer les propriétés saillantes. Cela ne sera pas discuté plus avant. Heureusement, nous avons une abondante documentation sur les traités de géomètres ultérieurs, notamment Appolonius, au sujet des sections coniques.

Aristée et Euclide

Nous arrivons ensuite aux travaux (encore perdus) d'Aristée « l'aîné » et du célèbre Euclide sur les sections coniques. Comme nous n'avons pas les travaux originaux de ces deux hommes sur les sections coniques, notre connaissance d'eux est dérivée des commentaires de Pappus, dont les écrits sont discutés dans Heath, en utilisant une traduction de Hultsch :

Les quatre livres des coniques d'Euclide ont été complétés par Apollonius, qui en a ajouté quatre autres et a produit huit livres de coniques. Aristée, qui a écrit les cinq livres encore existants de loci solides liés aux coniques, a appelé l'une des sections coniques la section d'un cône à angle aigu, une autre la section d'un cône à angle droit et la troisième la section d'un cône obtus. cône coudé. Apollonius dit dans son troisième livre que le "locus par rapport à trois ou quatre vers" n'avait pas été complètement étudié par Euclide, et en fait ni Apollonius lui-même ni personne d'autre n'aurait pu ajouter le moins du monde à ce qui a été écrit par Euclide avec le l'aide de ces seules propriétés des coniques qui avaient été prouvées jusqu'au temps d'Euclide, Apollonius lui-même en est la preuve lorsqu'il dit que la théorie de ce lieu ne pouvait être achevée sans les propositions qu'il avait été obligé d'élaborer pour lui-même. Or Euclide-considérant Aristée comme méritant le mérite des découvertes qu'il avait déjà faites dans les coniques, et sans l'anticiper ni vouloir refaire le même système, n'étant d'ailleurs nullement litigieux et, bien qu'exact, pourtant pas fanfaron comme l'autre-écrit autant sur le lieu qu'il était possible au moyen des coniques d'Aristée, sans prétendre à l'exhaustivité de ses démonstrations . (Heath, 1961, p. xxi-xxii)

Avant de discuter des implications des paroles de Pappus, nous nous tournons vers Proclus pour nous donner un aperçu du concept de « locus solide ». Il définit un lieu comme « une position d'une ligne ou d'une surface impliquant une seule et même propriété » (Heath, 1961, p. xxxii). Les loci sont divisés en deux classes, "line-loci" et "surface-loci". Dans la ligne loci se trouvent "plane-loci" et "solid-loci". Les lieux-plans sont générés dans un plan, comme la ligne droite. Les lieux solides sont générés à partir d'une section d'une figure solide, c'est-à-dire l'hélice cylindrique et les sections coniques. Pappus fait une division de ce que Proclus appelle les loci solides. Il divise cette catégorie en « loci-linéaires » et « loci-solides », à ne pas confondre avec ce que Proclus appelle des lieux-solides. Les loci solides, jusqu'à Pappus, sont des sections de cônes (paraboles, ellipses et hyperboles), et les loci linéaires sont des lignes plus compliquées que les lignes droites, les cercles et les sections coniques (Heath, 1961, p. xxxiii).

Avec cette information, ainsi que le passage de Pappus, Heath a tiré plusieurs conclusions concernant les travaux d'Euclide et d'Aristaeus concernant les sections coniques. Premièrement, le traitement par Aristaeus des loci solides se concentrait sur les paraboles, les ellipses et les hyperboles, c'est-à-dire qu'il considérait les coniques comme des loci. Deuxièmement, le traité d'Aristée sur les loci solides est arrivé en premier et contenait plus d'idées et de théorèmes originaux que celui d'Euclide. Pappus dit qu'Euclide a écrit sur la théorie de base des sections coniques, ciblant ses propositions pour préparer les lecteurs à analyser les loci solides d'Aristaeus (Heath, 1961, p. xxxii). Dans le même ordre d'idées, Heath remarque que « Euclid's Conics était une compilation et un réarrangement de la géométrie des coniques telle qu'elle était connue à son époque, alors que le travail d'Aristaeus était plus spécialisé et plus original » (Heath, 1921, pp. 116 -7). Troisièmement, Aristaeus a utilisé les termes « section de cône à angle droit, à angle aigu et à angle obtus », les noms acceptés pour ces courbes jusqu'à Apollonius. Enfin, les Coniques d'Euclide ont été remplacées par les Sections coniques d'Apollonius.

En plus des idées ci-dessus, une clé à tirer des travaux d'Aristée et d'Euclide est qu'ils étaient une source sur laquelle les mathématiciens ont basé leur travail, ou du moins consultés. Nous verrons cela en action alors que nous poursuivons notre discussion avec Archimède et Apollonius.

Archimède

"Aucune étude de l'histoire des sections coniques ne pourrait être complète sans un compte rendu assez exhaustif de tout ce qui concerne le sujet qui peut être trouvé dans les travaux existants d'Archimède" (Heath, 1961, p. xli). Il n'y a aucune preuve étayée qu'il ait jamais écrit un ouvrage entier consacré aux sections coniques, mais sa connaissance du sujet est évidente dans les ouvrages que nous avons. Parmi les traités publiés par Archimède figuraient la quadrature de la parabole, les conoïdes et les sphéroïdes, les corps flottants et l'équilibre plan. Ces travaux partagent un fil conducteur : ils nécessitent l'utilisation extensive des propriétés des paraboles, spécialité d'Archimède parmi les sections coniques (Heath, 1921, p. 124).

Heath dit que les Coniques d'Euclide sont la source probable à partir de laquelle Archimède adopte les principes de base des coniques qu'il suppose sans preuve (Heath, 1921, p. 122). Il utilise les "vieux", noms pré-Apollonius pour les sections coniques (c'est-à-dire la section d'un cône à angle aigu = ellipse) (Heath, 1961, p. xlii). Avant de continuer, il est important de clarifier son vocabulaire. Les diamètres sont ce que nous considérons comme les axes de l'ellipse (à la fois le majeur et le mineur). Ces deux diamètres sont conjugués. L'axe d'une parabole est aussi appelé diamètre, et les autres diamètres sont appelés « droites parallèles au diamètre ». Le diamètre d'une hyperbole est la portion de ce que nous considérons comme l'axe à l'intérieur de l'hyperbole à une seule branche (Archimède considère que la deuxième branche fait partie de la même courbe). Le centre de l'hyperbole était appelé le point de rencontre des « lignes les plus proches de la section d'un cône à angle obtus » (asymptotes) (Heath, 1921, p. 122).

Heath cite plusieurs hypothèses faites par Archimède sur la base de travaux antérieurs d'Euclide et d'Aristaeus. En référence aux coniques centrales :

    La ligne droite tirée du centre d'une ellipse, ou du point d'intersection des asymptotes d'une hyperbole, passant par le point de contact d'une tangente, coupe en deux toutes les cordes parallèles à la tangente Dans l'ellipse, les tangentes aux extrémités de l'une ou l'autre de deux diamètres conjugués sont tous deux parallèles à l'autre diamètre. Si un cône, droit ou oblique, est coupé par un plan rencontrant toutes les génératrices, la section est soit un cercle, soit une ellipse. Si une ligne entre les asymptotes rencontre une hyperbole et est coupée en deux au point de concours, elle touchera l'hyperbole Si x, y sont des lignes droites tracées, respectivement dans des directions fixes, à partir d'un point sur une hyperbole pour rencontrer les asymptotes, rectangle xy est constant. En ce qui concerne les paraboles en particulier, les cordes parallèles sont coupées en deux par une droite parallèle à l'axe, qui passe par le point de contact de la tangente parallèle aux cordes. Si la tangente en Q rencontre le diamètre PV en T, et QV est l'ordonnée au diamètre, PV = PT [voir Apollonius pour la définition de l'ordonnée]. Toutes les paraboles sont similaires (Heath, 1921, pp. 123-24)

La nature des écrits d'Archimède semble être telle qu'il ne prouve que ce qui n'est pas raisonnablement évident pour un mathématicien de formation. Ce qui était évident pour Archimède, cependant, ne coïncide pas toujours avec ce qui est évident pour la plupart des gens ! Par le même argument, les propositions qu'Archimède prouve ont tendance à être très difficiles. Archimède semblait moins soucieux de développer un traitement complet et systématique des coniques (qui de toute façon était accessible dans les œuvres maintenant perdues d'autres), mais plutôt d'utiliser ce qui était déjà établi et/ou facilement prouvé développer des théorèmes profonds et stimulants . Pour cette raison, cet article, bien qu'il ait donné un aperçu des hypothèses et des tendances fondamentales de l'étude d'Archimède, n'examinera pas les preuves originales qu'il a données.

Apollonios

Avec Euclide et Archimède, Apollonius est le troisième membre du trio des grands esprits géométriques de la Grèce antique. "Il n'est pas exagéré de dire que presque toutes les géométries géométriques ultérieures significatives, jusqu'à et y compris le temps présent, trouvent leur origine dans certains travaux de ces trois grands savants" (Eves, 1963, 25). Seule une petite quantité d'informations est connue sur la vie d'Apollonius. Il est né dans la ville de Perga, en Pamphylie, située dans le sud de l'Asie Mineure, aujourd'hui la Turquie. La date de sa naissance est à nouveau convenue par Eves et Heath comme étant environ 262 avant JC, c'est-à-dire environ 25 ans après la naissance d'Archimède. Jeune homme, il se rendit à Alexandrie pour étudier avec les successeurs d'Euclide. Il a prospéré sous le règne de Ptolémée Euergète ("Le Bienfaiteur", 247-222 av. Il a continué à être un érudit reconnu pendant le règne de Ptolémée Philopator (222-205 av. (Heath, 1921, 126). On sait aussi qu'il visita Pergame, où il rencontra Eudème, à qui il dédia les deux premiers livres de ses Conic Sections (Heath, 1921, 126). Les troisième à septième livres (et peut-être le huitième, qui est perdu) étaient consacrés au roi Attale I (241-197 av. J.-C.), un fait qui a aidé les historiens à estimer les années de sa vie.

Quatre des huit livres d'Apollonius nous sont parvenus en grec. Le huitième livre est complètement perdu - nous n'avons même aucune connaissance de son contenu. Les livres V-VII nous sont parvenus dans une traduction arabe, dont la date est discutable. Eves et Heath considèrent qu'il s'agit d'une traduction du neuvième siècle (Eves, 1990, p. 171). Cajori écrit d'autre part une traduction de 1250, sans aucune mention de celle du IXe siècle (Cajori, 1924, 38). Deux frères de la famille Muh, Ahmad et al-Hasan, ont d'abord envisagé de traduire les sections coniques en arabe au cours du IXe siècle. Ils ont presque perdu tout intérêt en raison du mauvais état de leurs manuscrits. Ahmad a reçu un exemplaire de l'édition des livres I-IV d'Eutocius et les a fait traduire par Abi Hilal al-Himsi (mort en 883/4). Il a ensuite donné un manuscrit différent des livres V-VII à Thabit ibn Qurra (vécu 826-901) à traduire. Confirmant la mention par Cajori de la traduction de 1250, Heath rapporte qu'en 1248, une autre traduction a été faite par Nasir ad-Din (Heath, 1921, p. 127).

Apollonius ouvre chacun de ses livres survivants avec une préface. La préface du livre I, qui sert de préface générale à toute la série, et du livre V ont été inclus dans l'annexe A. De la préface générale, nous apprenons que les quatre premiers livres des sections coniques ont complété et formalisé les travaux antérieurs connus de Apollonios à l'époque. Selon Heath, Apollonius ne prétend jamais que le matériel couvert dans les quatre premiers livres est original, à l'exception de certains théorèmes du livre III et des enquêtes du livre IV. Ce qu'il soutient, cependant, c'est que son traité est plus complet et plus rigoureux que les travaux antérieurs sur le sujet, ce qui est en accord avec les commentaires de Pappus (Heath, 1961, p. lxxvii). Contrairement à la plupart des quatre premiers livres, les livres cinq à sept couvraient de nouveaux concepts qui allaient au-delà des « essentiels ». Heath déclare, La vraie distinction entre les quatre premiers livres et le cinquième consiste plutôt dans le fait que le premier contient une exposition connexe et scientifique de la théorie générale des sections coniques comme base indispensable pour d'autres extensions du sujet dans certaines directions particulières, tandis que le cinquième livre est un exemple d'une telle spécialisation, il en est de même des sixième et septième livres (Heath, 1961, p. lxxvi).

Avant d'examiner les propositions individuelles des sections coniques, il pourrait être approprié de mentionner l'origine des noms des sections coniques telles que nous les connaissons aujourd'hui. Selon Eves, les termes « ellipse », « parabole » et « hyperbole » ont été adoptés à partir de la langue vernaculaire pythagoricienne ancienne se référant à « l'application des aires » (la forme de « l'algèbre géométrique » enregistrée dans les éléments d'Euclide, livre II. Lors de l'application un rectangle à un segment de ligne [en alignant un bord du rectangle sur le segment avec un coin du rectangle correspondant à une extrémité], "l'autre" coin du rectangle soit en deçà, a rencontré exactement ou a dépassé la fin Ces trois cas ont été respectivement appelés « ellipse », « parabole » ou « hyperbole ». Eves montre comment ces termes ont été appliqués dans un esprit similaire aux sections coniques d'Apollonius de la manière suivante :

    Soit AB l'axe principal d'une conique. Soit P un point quelconque de la conique. Soit Q le pied de la perpendiculaire à AB. Marquez une distance AR, perpendiculaire à AB par une distance maintenant connue sous le nom de latus rectum ou paramètre de la courbe. Appliquer au segment AR, un rectangle ayant pour un côté AQ et une aire égale à (PQ)². Si le rectangle dépasse le segment AR, alors la conique est une hyperbole. Si le rectangle coïncide avec le segment AR, alors la conique est une parabole. Si le rectangle est inférieur au segment AR, alors la conique est une ellipse. (Eves, 1963, p. 30-1)

Cet argument à lui seul ne semble pas être une preuve, ni même une définition. Tel qu'il est écrit, il n'apparaît certainement pas dans les sections coniques d'Apollonius, bien que, plus tard, lorsque ses propositions seront discutées, une similitude avec celles-ci sera évidente. Les déclarations d'Eves, cependant, semblent vérifier lorsque l'on suit les étapes. Les trois premiers énoncés sont clairs et communs aux trois cas. Non explicitement indiqué, soit F un foyer de la section conique donnée, et K une extrémité du latus rectum. Voici des exemples (non grecs) de chacun des trois cas :

Avant d'entrer dans la méthode d'Apollonius pour prouver ces relations, il serait juste de commencer, comme il l'a fait, par définir les termes pertinents.

Si une ligne droite de longueur indéfinie, et passant toujours par un point fixe, est amenée à faire le tour de la circonférence d'un cercle qui n'est pas dans le même plan que le point, de manière à passer successivement par chaque point de cette circonférence, la une ligne droite en mouvement tracera la surface d'un double cône, ou de deux cônes similaires situés dans des directions opposées et se rencontrant dans le point fixe, qui est le sommet de chaque cône.

Le cercle autour duquel se déplace la droite est appelé base du cône compris entre ledit cercle et le point fixe, et l'axe est défini comme la droite tirée du point fixe ou du sommet jusqu'au centre du cercle formant le base.

Le cône ainsi décrit est un cône scalène ou oblique sauf dans le cas particulier où l'axe est perpendiculaire à la base. Dans ce dernier cas, le cône est un cône droit.

Si un cône est coupé par un plan passant par le sommet, la section résultante est un triangle, les deux côtés étant des lignes droites se trouvant sur la surface du cône et le troisième côté étant la ligne droite qui est l'intersection du plan de coupe et de la plan de la base.

Soit un cône dont le sommet est A et dont la base est le cercle BC, et soit O le centre du cercle, de sorte que AO soit l'axe du cône. Supposons maintenant que le cône soit coupé par n'importe quel plan parallèle au plan de la base BC, et DE, et que l'axe AO rencontre le plan DE en o. Soit p un point quelconque à l'intersection du plan DE et de la surface du cône. Joignez Ap et produisez-le pour rencontrer la circonférence du cercle BC en P. Joignez OP, op.

Alors, puisque le plan passant par les droites AO, AP coupe les deux plans parallèles BC, DE dans les droites OP, op respectivement, OP, op sont parallèles.

Et, BPC étant un cercle, OP reste constant pour toutes les positions de p sur la courbe DpE, et le rapport Ao : Ao est également constant.

Par conséquent, op est constant pour tous les points de la section de la surface par le plan DE. En d'autres termes, cette section est un cercle.

Par conséquent, toutes les sections du cône qui sont parallèles à la base circulaire sont des cercles (Heath, 1961, pp. 1-2).

Les sections coniques continuent à définir un diamètre comme étant une ligne droite coupant chacune d'une série de cordes parallèles d'une section d'un cône. Dans chacun des exemples ci-dessous, PP' est un diamètre :

Dans les figures ci-dessus, si QQ' est coupé en deux par le diamètre PP' en V, alors PV est appelé une ordonnée, ou une ligne droite tracée en ordonnée. La longueur PV coupée du diamètre par n'importe quelle ordonnée QV est appelée l'abscisse de QV (Heath, 1961, pp. 7-8).

Nous nous tournons maintenant vers les définitions d'Apollonius des sections coniques alors que nous essayons de les relier à la définition donnée par Eves ci-dessus. Le cas de la parabole sera donné à titre d'exemple des développements d'Apollonius :

Soit d'abord le diamètre PM de la section parallèle à l'un des côtés du triangle axial en tant que AC, et soit QV une ordonnée quelconque au diamètre PM. Alors si l'on prend une droite PL (censée être tracée perpendiculairement à PM dans le plan de la section) d'une longueur telle que PL:PA = BC² : BA.AC , il est à prouver que QV² = PL.PV

Soit HK passant par V parallèlement à BC . Alors, puisque QV est également parallèle à DE , il s'ensuit que le plan passant par H, Q, K est parallèle à la base du cône et produit donc une section circulaire dont le diamètre est HK . QV est également perpendiculaire à HK.

Maintenant, par des triangles et des parallèles similaires,

HV : PV = BC : AC et VK : PA = BC : BA.

Donc, QV² : PV.PA = PL : PA = PL.PV : PV.PA

Il s'ensuit que le carré en ordonnée au diamètre fixe PM est égal à un rectangle appliqué à la droite fixe PL tracée perpendiculairement à PM d'altitude égale à l'abscisse correspondante PV. Par conséquent, la section est appelée une parabole.

La droite fixe PL est appelée latus rectum , ou le paramètre des ordonnées.

Ce paramètre, correspondant au diamètre PM , sera désigné par le symbole p ci-dessous. Ainsi,

Cette preuve diffère de celle donnée ci-dessus, car l'exercice précédent supposait que le foyer était connu. Apollonius choisit PL de telle sorte qu'il représente le latus rectum, ou largeur focale de la courbe. En raison du développement antérieur, tout plan parallèle à la base et coupant complètement le cône est un cercle. Grâce à l'utilisation des ensembles de droites parallèles QV et DE, HK et BC, et à travers les triangles similaires HKA et BCA, il suit assez directement comme l'indique Apollonius. Tout comme dans la démonstration précédente (Eves), le carré de l'ordonnée (QV²) est égal à la longueur du latus rectum (PL) fois l'abscisse de QV (PV).

Les définitions d'Apollonius de l'hyperbole et de l'ellipse suivent une ligne similaire. Pour l'hyperbole, l'aire du rectangle (définie égale au carré de l'ordonnée) chevauche le latus rectum fixe. Pour l'ellipse, l'aire du rectangle est inférieure au latus rectum fixe. Réitérant ce qui précède, Heath suggère que ces définitions indiquent que les noms proviennent des termes pythagoriciens relatifs à l'application des zones aux segments.

Le dernier sujet des sections coniques d'Apollonius à considérer est son traitement des tangentes. Il développe ce sujet dans le Livre I et le Livre V. Le Livre V introduit l'idée de lignes "maximum" et "minimum" pour se référer respectivement aux tangentes et aux normales. Ce livre, considéré par Eves comme « le plus remarquable et le plus original » des sept que nous possédons aujourd'hui, devient vite très difficile à lire et à suivre. Les propositions et les relations qu'elle prouve, qui sont aujourd'hui plus faciles à montrer en utilisant le calcul différentiel, sont rigoureusement explorées à la manière géométrique grecque classique (Heath, 1961, pp. lxxv-lxxvi). Les théorèmes préliminaires, cependant, ne sont pas très difficiles à suivre. Nous examinerons d'abord deux propositions du premier livre concernant les tangentes (l'une sera énoncée et discutée, l'autre formellement prouvée), puis nous examinerons un théorème du livre V.

La proposition 11 stipule que si une ligne droite est tracée à travers l'extrémité du diamètre d'une conique parallèle aux ordonnées de ce diamètre, la ligne droite touchera la conique, et aucune autre ligne droite ne peut tomber entre elle et la conique (Heath, 1961, p.22). Autrement dit, aucune ligne droite ne peut s'insérer entre une ligne tangente et la courbe à laquelle elle est tangente. Cela semble être une affirmation raisonnable, liée à la définition de la ligne tangente utilisée plus tard dans le développement du calcul (bien que, entre autres, sa portée soit trop "globale").

Apollonius le prouve dans deux cas, un pour une parabole et un pour l'ellipse, l'hyperbole et le cercle [intéressant qu'il inclurait le cercle].

Proposition 12 : Si l'on prend un point T sur le diamètre d'une parabole en dehors de la courbe et que TP = PV, où V est le pied de l'ordonnée de Q au diamètre PV, la droite TQ touchera la parabole.

Nous devons prouver que la droite TQ ou TQ produite ne tombe pas dans la courbe de part et d'autre de Q.

Car, si possible, laissez K, un point sur TQ ou TQ produit, tomber dans la courbe, et par K tracez Q'KV' parallèlement à une ordonnée et rencontrant le diamètre en V' et la courbe en Q'.

Alors Q'V'² : QV² > KV'² : QV², par hypothèse, > TV'² : TV²

Donc, 4TP.PV' : 4TP.PV > TV'² : TV²

Mais, puisque par hypothèse TV' n'est pas bissectée en P,

ce qui est absurde. Par conséquent, TQ ne se situe à aucun moment dans la courbe et est donc une tangente.

La figure de cette preuve par contradiction peut être redessinée pour montrer ce qui est supposé, qu'il existe un point K sur TQ tel que K se trouve à l'intérieur de la parabole. On construit alors KQ'V' parallèlement à l'ordonnée QV.

Ensuite, en utilisant notre hypothèse que Q'V' > KV', le TP donné = PV, et les triangles similaires TVP et TV'Q', nous arrivons à la contradiction.

Nous passons maintenant au livre V pour avoir une idée de l'idée de minimum d'Apollonius avec un cas simple du concept :

Proposition 82 Dans une parabole, si E est un point de l'axe tel que AE est égal à la moitié du latus rectum, alors la droite minimale de E à la courbe est AE et, si P est tout autre point de la courbe, PE augmente à mesure que P s'éloigne de A de chaque côté. Aussi, pour tout point :

Soit AL le paramètre ou latus rectum. Alors, PN² = AL.AN = 2AE.AN

En ajoutant EN², nous avons, EN² = 2AE.AN + EN² = 2AE.AN + (AE - AN)² = AE² + AN

Ainsi, PE² > AE² et augmente avec AN, c'est-à-dire que P s'éloigne de plus en plus de A. De plus, la valeur minimale de PE est AE, ou AE est la ligne droite la plus courte de E à la courbe.

[Dans cette proposition, ainsi que beaucoup d'autres dans le Livre V, Apollonius considère trois cas, où N est entre A et E, où N coïncide avec E et PE (perpendiculairement à l'axe), et où AN est supérieur à AE-nous allons considérer seulement ce cas par souci de concision]

La preuve commence par énoncer la relation générale entre l'ordonnée, l'abscisse et le latus rectum d'une parabole. C'est un cas particulier de la parabole dans laquelle E est choisi sur le diamètre de telle sorte que AE soit la moitié du latus rectum, ce qui se reflète dans la réécriture de la relation d'origine. Parce que PN est perpendiculaire à PE, EN² est ajouté aux deux côtés de l'équation, et en raison du théorème de Pythagore, le côté gauche de l'équation se réduit à PE². Le reste de la preuve suit facilement.

Conclusion

Cet article a tenté de fournir une introduction systématique aux travaux des géomètres grecs impliqués dans le développement de la théorie de la section conique. Cela a commencé avec les travaux de Menaechmus, qui a d'abord utilisé des coniques pour résoudre le doublement du cube. On ne sait pas combien de propriétés des coniques il connaissait, bien qu'il soit généralement admis qu'il savait qu'elles provenaient de la coupe d'un cône. Après Menaechmus, Aristaeus et Euclide ont formalisé et développé les coniques (Aristaeus était plus original). Puis vint le grand Archimède, qui utilisa la théorie élémentaire des sections coniques pour développer des concepts importants sur les paraboles, et étendit cela bien au-delà de la portée de cet article. Le point culminant du sujet est venu des mains d'Apollonius, qui, en huit volumes, a rigoureusement développé tout ce qu'on savait sur les sections coniques avant lui, et a ajouté une multitude de propositions qui étaient originales (nous croyons) pour lui, tellement en fait que Eves note, « Le traité est considérablement plus complet que le cours collégial habituel d'aujourd'hui sur le sujet ».

Après l'ère de ces grands mathématiciens, il y eut une accalmie dans la croissance des sections coniques jusqu'à Pappus. Il a développé une grande partie de ce qui était connu et s'est également avéré être une source précieuse pour les historiens des mathématiques modernes essayant d'en apprendre davantage sur les méthodes grecques. Avec le décès de Pappus et peut-être de Proclus, les coniques ont disparu pendant plus de 1000 ans jusqu'à renaître aux XVe et XVIe siècles. Bien que le travail de scientifiques et de mathématiciens, comme Kepler qui était les deux, les coniques ont évolué d'un nouvel exercice intellectuel dans la Grèce antique à un puissant outil de modélisation pour expliquer les lois physiques de l'univers.

Préfaces sélectionnées aux sections coniques (traduites par Halley, imprimées à Heath)

Apollonios à Eudème, salut.

Si vous êtes en bonne santé et que les circonstances sont à d'autres égards comme vous le souhaitez, c'est bien que moi aussi je me porte assez bien.Lorsque j'étais avec vous à Pergame, j'ai remarqué que vous aviez hâte de vous familiariser avec mon travail sur les coniques, c'est pourquoi je vous envoie le premier livre que j'ai corrigé, et les livres restants je les ferai parvenir quand je les aurai terminés à ma satisfaction. Je suppose que vous n'avez pas oublié que je vous ai dit que j'ai entrepris l'enquête sur ce sujet à la demande de Naucrate le géomètre à l'époque où il est venu à Alexandrie et est resté avec moi, et qu'après l'avoir élaboré en huit livres, j'ai communiqué les lui adressa tout de suite, un peu trop hâtivement, sans une révision approfondie (car il était sur le point de s'embarquer), mais en notant tout ce qui m'était venu à l'esprit, avec l'intention d'y revenir plus tard. C'est pourquoi je profite maintenant de l'occasion pour publier chaque partie de temps en temps, au fur et à mesure qu'elle est corrigée progressivement. Mais, comme il se peut que d'autres personnes également qui ont été avec moi aient eu les premier et deuxième livres avant qu'ils ne soient corrigés, ne soyez pas surpris si vous les trouvez sous une forme différente.

Or des huit livres, les quatre premiers forment une introduction élémentaire, le premier contient les modes de production des trois sections et des branches opposées [de l'hyperbole-Heath] et leurs propriétés fondamentales élaborées plus complètement et plus généralement que dans les écrits d'autres auteurs. la seconde traite des propriétés des diamètres et des axes des sections ainsi que des asymptotes et autres choses d'importance générale et nécessaires pour déterminer les limites du possible, et ce que j'entends par diamètres et axes vous l'apprendrez dans ce livre. Le troisième livre contient de nombreux théorèmes remarquables utiles pour la synthèse des lieux solides et les déterminations des limites le plus et le plus joli de ces théorèmes sont nouveaux, et, quand je les ai découverts, j'ai observé qu'Euclide n'avait pas élaboré la synthèse du lieu en ce qui concerne à trois et quatre lignes, mais seulement une partie fortuite et cela sans succès : car il n'était pas possible que la synthèse ait pu être achevée sans mes découvertes supplémentaires. Le quatrième livre montre de combien de manières les sections de cônes se rencontrent et la circonférence d'un cercle qu'il contient d'autres questions, dont aucun n'a été discuté par les auteurs précédents, concernant le nombre de points dans lesquels une section de cône ou la circonférence d'un cercle rencontre [les branches opposées d'une hyperbole-Heath].

Le reste [des livres-Heath] sont plus par voie de suppléance ['plus avancé' mais implique littéralement des extensions du sujet au-delà des simples éléments essentiels-Heath sous la forme d'une note de bas de page] : l'un d'eux traite assez complètement des minima et maxima, un avec des sections de cônes égales et similaires, un avec des théorèmes impliquant la détermination des limites, et le dernier avec des problèmes coniques déterminés.

Lorsque tous les livres seront publiés, il sera bien entendu ouvert à ceux qui les liront de les juger individuellement à leur guise. Adieu.

Apollonios à Attale, salut.

Dans ce cinquième livre, j'ai posé des propositions relatives aux lignes droites maximales et minimales. Vous devez savoir que nos prédécesseurs et contemporains n'ont effleuré que superficiellement l'investigation des lignes les plus courtes, et n'ont prouvé quelles lignes droites touchent les sections et, inversement, quelles propriétés elles ont en vertu desquelles elles sont tangentes. Pour ma part, j'ai prouvé ces propriétés dans le premier livre (sans toutefois faire aucun usage, dans les preuves, de la doctrine des lignes les plus courtes) en tant que j'ai voulu les mettre en rapport étroit avec cette partie du sujet dans laquelle J'ai traité de la production des trois sections coniques, afin de montrer en même temps que dans chacune des trois sections apparaissent d'innombrables propriétés et résultats nécessaires, comme ils le font par rapport au diamètre d'origine (transversal). Les propositions dans lesquelles je discute les lignes les plus courtes que j'ai séparées en classes, et traité chaque cas individuel par une démonstration soigneuse, j'ai également lié leur recherche à la recherche des plus grandes lignes mentionnées ci-dessus, parce que j'ai considéré que ceux qui cultivent cette la science en avait besoin pour acquérir la connaissance de l'analyse et de la détermination des problèmes ainsi que pour leur synthèse, indépendamment du fait qu'il s'agisse de l'un de ceux qui semblent dignes d'être étudiés pour eux-mêmes. Adieu.


Comment les Grecs ont changé l'idée de l'au-delà

Leurs cultes secrets contribuent à façonner notre façon de penser ce qui se passe après la mort.

Le monde de la Grèce antique était rempli de dieux, dirigés par les imposants Olympiens - Zeus, Héra, Apollon, Poséidon, Athéna et d'autres géants de la mythologie. Parallèlement au culte de ces habitants divins de l'Olympe, il y avait des centaines de cultes axés sur les divinités et les héros locaux.

Les gens ont prié ces dieux pour les mêmes raisons que nous prions aujourd'hui : pour la santé et la sécurité, pour la prospérité, pour une bonne récolte, pour la sécurité en mer. La plupart du temps, ils priaient en tant que communautés, et par des offrandes et des sacrifices, ils cherchaient à plaire aux divinités impénétrables qui, selon eux, contrôlaient leur vie.

Mais que se passe-t-il après la mort ? En cela, les anciens se tournaient vers Hadès, dieu des enfers, frère de Zeus et de Poséidon. Mais Hadès n'a donné aucune assurance. Enveloppé d'une obscurité brumeuse, coupé par la redoutable rivière Styx, le royaume d'Hadès ("l'invisible") était, nous dit le poète Homère, un lieu d'"horreur moisissante" où les gens ordinaires - et même les héros - allaient après leur mort.

L'intérêt sympathique pour la condition humaine a finalement conduit les Grecs à adopter de nouvelles formes de religion et de nouveaux cultes. N'étant plus considéré comme un destin sans joie, l'au-delà est devenu davantage une quête personnelle. Les cultes du mystère, enveloppés de secret, promettaient des conseils pour ce qui viendrait après la mort. Les rites mystérieux étaient intensément émotionnels et mis en scène comme un théâtre élaboré. Celles des grands dieux de l'île grecque de Samothrace ont eu lieu la nuit, avec un feu de torche vacillant indiquant la voie aux initiés. Gardé sous peine de mort, les rituels restent mystérieux à ce jour.

Au IVe siècle av. Les fondations des nouvelles religions se mettaient en place. Et lorsque le christianisme a balayé le monde antique, il a emporté avec lui, avec les conseils d'une seule divinité, les vestiges des anciennes croyances : l'élimination de la corruption humaine par des rites mystiques, les différents destins qui attendent les initiés et les non-initiés, et le respect pour textes sacrés.


Voir la vidéo: 6 TRUCS ÉTRANGES en GRÈCE ANTIQUE (Novembre 2021).